Le grandi domande della vita: Di perimetri, aree e volumi

E' raro, ma a volte succede, che mi imbatto nelle domande per questa serie nella sezione italiana di Quora. Tutto parte da una interessante osservazione sul legame tra area e perimetro di un cerchio e tra volume e area della superficie di una sfera.
Se infatti prendiamo l'area del cerchio, ovvero \(\pi r^2\) e la deriviamo rispetto a \(r\) otteniamo \(2\pi r\), che è la misura della circonerenza, ovvero il perimetro del cerchio. Stessa cosa succede per il volume della sfera, \(4/3 \pi r^3\), la cui derivata rispetto al raggio è \(4 \pi r^2\) ovvero l'area della superficie della sfera. Questo fatto non è casuale e almeno un paio di utenti di Quora hanno spiegato la cosa con dettagli tecnici che, per quanto corretti, forse sono eccessivi. Non a caso qualcuno chiedeva nei commenti a queste risposte tecniche, una spiegazione che fosse comprensibile con la matematica delle scuole superiori.
In effetti ci sono, tra le risposte, molte che spiegano questo fatto proprio con la matematica delle superiori, in particolare quella degli ultimi anni, ovvero derivate e integrali. In particolare partiamo dal significato geometrico di integrale.
L'idea dietro l'operazione di integrale nasce da lontano, in particolare dal metodo di esaustione utilizzata da Archimede per il calcolo dell'area del cerchio, e dunque del valore del \(\pi\), e per il calcolo del volume dell'unghia.

Le grandi domande della vita: Un integrale sensato?

Mi sono imbattuto in una domanda a dir poco curiosa, se non strana, in cui ci si chiedeva il significato di questa scrittura: \[\int x^{dx} - 1\] Qualcuno ha provato a fornire una risposta in maniera più o meno creativa proponendo come risultato \[x \cdot \ln x - x + C\] e considerando il \(-1\) all'interno dell'integrale.

Le grandi domande della vita: freddo quantistico

Con un’estate così calda, non c’è nulla di meglio che rinfrescarsi scendendo sotto lo zero assoluto! E per i più curiosi, entriamo nei segreti delle code!

Scendere sotto lo zero assoluto

Secondo la definizione di zero assoluto, questa:

è la temperatura più bassa che teoricamente si possa ottenere in qualsiasi sistema macroscopico e corrisponde a $0 K$ ($–273,15 ^circle C$). Si può mostrare con le leggi della termodinamica che la temperatura non può mai essere esattamente pari allo zero assoluto, anche se è possibile raggiungere temperature molto vicine ad esso. Allo zero assoluto le molecole e gli atomi di un sistema sono tutte allo stato fondamentale (ovvero il più basso livello di energia possibile) e il sistema ha il minor quantitativo possibile di energia cinetica permesso dalle leggi della fisica. Questa quantità di energia è piccolissima, ma sempre maggiore di zero. Questa energia minima corrisponde all’energia di punto zero, prevista dalla meccanica quantistica per tutti i sistemi che abbiano un potenziale confinante.

Per cui sembrerebe che nulla possa essere più freddo dello zero assoluto, e quindi che non possa esistere una temperatura assoluta negativa. Eppure nel 2013 è stato creato per la prima volta un gas atomico on una temperatura al di sotto dello zero assoluto^{(1, 2)}!
Il punto essenziale dell’esperimento è nella visione probabilstica della temperatura. In questo modo possono succedere alcuni effetti interessanti, come la contrazione di un gas riscaldato o il flusso di energia da un sistema a una data temperatura verso uno a una temperatura superiore.
Il gruppo di ricercatori di Braun e soci ha racchiuso in una trappola quantistica costituita da campi magnetici e raggi laser, alcuni atomi ultrafreddi di potassio riuscendo a portarli a una temperatura di poco inferiore allo zero assoluto (all’incirca $-10^{-9} K$). Questa scoperta apre la strada da un lato alla possibile realizzazione di sistemi con un’efficienza mai vista finora, e dall’altro alla possibilità di investigare un fenomeno che potrebbe essere alla base dell’energia oscura⁽²⁾.

Ritratti: Winifred Edgerton Merrill

Winifred Edgerton Merrill fu la prima americana ad ottenere un dottorato in matematica presso la Columbia University nel 1886. Nella sua tesi sviluppò una rappresentazione geometrica degli infinitesimi in diversi sistemi di coordinate, utilizzando lo jacobiano per per derivare le trasformazioni tra gli integrali nei diversi sistemi.

Tra matematica e astronomia

Nata a Ripon, nel Wisconsin, il 24 settembre del 1862 da Emmet e Clara Edgerton, si trasferisce con la famiglia a New York intorno al 1870, dove il padre inizia a lavorare come agente immobiliare. Tra gli amici di famiglia ci sono gli scrittori James Russel Lowell, Oliver Wendell Holmes, Thomas Bailey Aldrich, mentre la piccola Winifred viene educata a casa da una tutor assunta allo scopo. La sua formazione viene poi completata dall'uso di un osservatorio che la famiglia aveva costruito per lei nel New Jersey.
A 16 anni decide di iscriversi al Wellesey College, che aveva aperto le porte alle donne nel 1875, e conclude gli studi nel 1883, iniziando successivamente a insegnare alla Mrs. Sylvanus Reed's Boarding and Day School for Young Ladies di New York. Sempre nello stesso anno calcola l'orbita della cometa Pons-Brooks a partire dai dati forniti dall'osservatorio di Harvard: questo primo successo le permette di accedere al telescopio della Columbia.
Innanzitutto ricordiamo che la prima università statunitense fu Harvard, nel 1636. Dopo 200 anni il mount Holyoke Female Seminary propose per la prima volta alle donne un curriculum simile a quello delle istituzioni maschili (si contavano circa 56 università). L'Oberlin College divenne la prima ad aprirsi anche alle donne nel 1837. Successivamente nel 1861 Yale fu la prima a fornire un PhD alle donne, mentre nel 1877 Helen Magill fu la prima a ottenere un dottorato negli Stati Uniti: in greco presso la Boston University, mentre è del 1879 la Harvard Annex (successivamente Radcliffe) aperta espressamente per le donne. In questo stato di cose la Columbia rappresentava un baluardo nella resistenza del mondo accademico maschile, che riteneva le donne inferiori e quindi incapaci di rivestire un ruolo di responsabilità nell'università. Ad ogni modo, nonostante venne respinta, nel 1883, la proposta di aprirsi all'educazione femminile, venne portato a termine un primo, importante compromesso:

Alle donne sarebbe stato impedito di frequentare i corsi, ma gli sarebbero stati forniti i libri necessari per superare gli esami richiesti. In caso di esito positivo di questi ultimi, sarebbe stato loro riconosciuto il titolo di studio corrispondente.

Una volta raggiunta la laurea, però, l'unica carriera possibile per le donne era l'insegnamento, almeno restando in un ambito accademico, mentre ancora di donne nella ricerca non se ne parlava per nulla.

Calcolo di un volume

In questo periodo sto provando a preparare una quinta all'esame di stato. Il provare dipende essenzialmente dal fatto che la classe non sembra essere particolarmente interessata ad arrivare all'esame e sto arrivando alle minacce di insufficienze. A parte questi problemi, però, sto al momento affrontando il secondo problema del compito d'esame dello scorso anno, in particolare il quesito in cui viene richiesto il volume di un solido $W$. Data una regione $R$ del piano $xy$, base del solido $W$, di quest'ultimo sappiamo che le sezioni sono

ottenute tagliando $W$ con piani perpendicolari all'asse $x$

e

hanno, per ogni $0 <= x <= 3$, area $S(x) = e^{5-3x}$

Per determinare il volume del solido basta integrare, nell'intervallo $[0, 3]$ la sezione $S(x)$.
Se in questa soluzione non viene giustificata per nulla questa scelta, nella soluzione proposta dal Sole 24 Ore si propone la seguente giustificazione:

Le informazioni su $W$ sono insufficienti a ricavarne la sua esatta forma, ma sufficienti per la determinazione del volume. Inoltre, l'infomazione sul fatto che $R$ sia la sua base è irrilevante. La superficie delle sezioni, e l'intervallo delle ascisse su cui queste sezioni sono non nulle, sono gli ingredienti necessari a dare una formulazione integrale del volume in questione

Che l'informazione sul fatto che $R$ sia base di $W$ sia irrilevante è sicuramente corretta, ma ciò che a me interessa è poter dimostrare tale affermazione, ed è quello che ho cercato di fare con la classe nel tentativo di farli ragionare e farli arrivare alla soluzione⁽¹⁾.
L'idea è ricordare che il volume di un solido è sempre il prodotto tra un'area di base e una altezza.
L'area di base sappiamo calcolarla, poiché viene richiesto nel primo punto del secondo problema, quindi l'idea è cercare di ricavare l'altezza della superficie $S(x)$. Per fare ciò posso scrivere l'area di ciascuna sezione come \[S(x) = b(x) \cdot h(x)\] dove $b(x) = c(x) - p(x)$, con $c(x)$, $p(x)$ rispettivamente arco di una circonferenza e arco di una parabola.
Il volume infinitesimo $d V_W$ sarà dato da $h(x) \cdot b(x) d x$, dove $b(x) dx$ sarà la superficie infinitesima associata con l'altezza $h(x)$. A questo punto sommando tutti gli infinitesimi volumi si ottiene l'integrale \[\int_0^3 h(x) \cdot b(x) d x\] che si riduce all'integrale \[\int_0^3 S(x) dx\] come volevasi dimostrare.

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(1) Il post è programmato per la pubblicazione subito dopo la fine della lezione.

Jodorowski: Megalex

Fumetti, in particolare quelli di supereroi, e letteratura di fantascienza, soprattutto negli ultimi decenni, hanno condiviso tra loro molte idee di fondo, per cui è probabilmente lecito andarsi a chiedere se buona parte di quello che oggi leggiamo in questi due campi trae origine e ispirazione da opere e/o autori fondamentali per uno di questi settori o per entrambi.
Se restiamo nel campo dei supereroi da un lato, concentrandoci magari su autori come Alan Moore, Warren Ellis, Grant Morrison, e del cyberpunk dall'altro l'autore probabilmente di riferimento principale in assoluto è Philip K. Dick, in pratica precursore del cyberpunk, che verrà codificato decenni dopo da due scrittori come William Gibbons e Bruce Sterling. Le sue invenzioni letterarie sono finite inevitabilmente nelle opere di Moore e quindi di Ellis e Morrison: visioni del futuro grazie alle quali plasmare il presente (forse...); esseri quasi onnipotenti eppure estremamente vulnerabili, come Palmer Eldrich; androidi che si ribellano alla programmazione e iniziano a sostituirsi agli esseri umani. Molto e molto altro ancora di queste idee e spunti sono finiti nelle storie degli sceneggiatori qui citati e in altri ancora.
L'autore di fumetti (ma non solo) che è probabilmente il più dickiano di tutti è, però, Alejandro Jodorowski, sceneggiatore che con le sue visioni ha reinterpretato molti generi disparati, un po' come lo scrittore pulp per eccellenza, Joe Lansdale, e in particolare il genere fantascientifico.
In particolare Megalex, una trilogia disegnata da Fred Beltran e recentemente pubblicata in un unico volume dalla Magic Press, è una visione di stampo ecologista dove sull'omonimo pianeta gli abitanti, sotto il controllo di una triade di regnanti spietati, hanno costruito un'unica e sempre più grande città, mentre i ribelli a questo regime si rifugiano nei sotterranei del pianeta e nell'unica foresta ancora rimasta, intorno all'albero più antico di tutta Megalex. La struttura sociale, poi, è abbastanza semplice: per mantenere il controllo sulla popolazione da parte dei tre regnanti (padre, madre e figlia), tutti gli abitanti indossano alla base del collo un dispositivo elettronico che, in base alla casta di appartenenza, esplode dopo un certo tempo di vita del soggetto.

Ritratti: Niels Henrik Abel

Le origini della teoria dei gruppi sono drammatiche, nel senso che i due principali matematici che posero le fondamenta di questa branca della matematica evvero due vite piuttosto drammatiche conclusesi entrambe in giovane erà. Il primo dei due fu il norvegese Niels Henrik Abel, la cui biogfrafia viene così riassunta da Mario Livio ne L'equazione impossibile⁽¹⁾:

Che cosa si può dire di un ragazzo morto a ventisei anni? Che era timido e geniale. Che amava la matematica e il teatro. E che fu condannato a morte dalla povertà.

Nato il 5 agosto del 1802 dal pastore luterano Soren Georg Abel e da Anne Marie Simonsen, figlia di un mercante, immagino non ebbe certo un'infanzia semplice, tra un padre religioso e una madre, per così dire, allegra. Si possono solo immaginare le discussioni tra i due coniugi, discussioni che potrebbero aver influenzato il carattere di Abel ben più della figura paterna, che istruì personalmente Niels fino ai 13 anni, quando poi venne mandato alla Scuola Cattedrale di Christiania, l'attuale Oslo. Probabilmente l'allontanamento da una famiglia difficile (entrambi i genitori erano sostanzialmente alcolizzati) fu la prima delle poche fortune che la vita gli concesse. La seconda, in ordine di tempo, fu Bernt Michael Holmboe, giovane insegnante di matematica giunto alla Scuola Cattedrale per sostituire Hans Peter Bader allontanato a causa delle denunce di maltrattamenti inoltrate dai suoi studenti, tra cui lo stesso Niels.
Holmboe, in effetti, fu molto importante per Abel: innanzitutto introdusse un nuovo programma molto più moderno e poi, accorgendosi del talento matematico di Niels, lo incitò a leggere le opere di grandi matematici come Laplace, Newton, Gauss, Lagrange. E forse anche grazie agli entusiastici giudizi del suo insegnante durante il suo ultimo anno alla Scuola Cattedrale provò la grande sfida dell'epoca, risolvere una equazione di quinto grado usando gli strumenti più semplici di somme, moltiplicazioni e radici. Il giovane sottopose questo suo primo lavoro proprio al suo insegnante, il quale ritenendolo perfetto, lo inoltrò all'Università di Christiania, in particolare a Christopher Hansteen e Soren Rasmussen, che convennero con il giudizio di Holmboe. A questo punto l'insegnante inviò il manoscritto a Ferdinand Degen di Copenhagen per farlo pubblicare dall'Accademia Danese. Degen, da buon reviewer, chiese ad Abel una descrizione più dettagliata del risultato aggiungendo anche degli esempi numerici. E proprio alla ricerca di esempi, Niels si accorse che la sua soluzione era errata. Degen, però, gli consigliò di rivolgersi ad altri campi, come ad esempio gli integrali ellittici, perché avrebbero potuto riservare risultati e soddisfazioni migliori dello studio delle equazioni.
E in effetti Abel, entrato all'università nel 1821, grazie all'impegno di ben tre professori, tra cui Hansteen e Rasmussen, che finché poterono anche negli anni successivi cercarono di sostenere Niels anche dal punto di vista economico. Fu in effetti il terzo evento felice della vita di Abel, visto che usciva da un periodo familiare difficile, ricco di stenti e con l'insuccesso politico del padre, che cercò di diffamare senza successo due suoi colleghi di parlamento. Se l'insuccesso influenzò pesantemente il padre e la famiglia, certo non influenzò più di tanto la carriera accademica di Abel, almeno dal punto di vista scientifico, perché dal punto di vista dei finanziamenti già allora le istituzioni accademiche preferivano sostenere economicamente l'esperienza piuttosto che la bravura e il talento.
Senza, però, anticipare troppo, torniamo ai primi lavori scientifici di Abel, usciti tra il 1823 e il 1824. In particolare si segnala il suo terzo manoscritto, Soluzione di una coppia di proposizioni per mezzo di integrali definiti, dove si trova la matematica che farà da base alla radiologia moderna. Fu poi nel 1823 che Abel ebbe i primi contatti con matematici europei, quandopassò l'estate di quell'anno da uno zio a Copenaghen, dove conobbe anche la sua futura fidanzata, l'unica donna della sua vita, Christine Crelly Kemp. Il loro fidanzamento venne ufficializzato dopo il Natale del 1824, ma non riuscirono mai a concludere il loro sogno di un matrimonio e una vita insieme sia per le ristrettezze economiche (Niels non riuscì mai a ottenere un contratto stabile ed economicamente sufficiente per una famiglia, Crelly non andò mai semplici lavori da istitutrice) sia per il peggioramento delle condizioni di salute di Niels, preda della tubercolosi,contratta molto probabilmente durante il viaggio in Europa, forse a Parigi.
Infatti Hansteen e Rasmussen riuscirono a strappare un pur esiguo finanziamento dal Ministero delle Finanze per mandare Abel in Europa presso alcune università del continente. Tra i vincoli imposti dal Ministero, in particolare uno influenzò le finanze di Niel al suo ritorno in patria:

(...) Abel non avrebbe ricevuto denaro dopo il suo rientro in Norvegia.

Integrali e polilogaritmi

L'esame preliminare dei privatisti abbinati alle varie classi è sempre obbligo delle scuole assegnate/scelte dai privatisti. Alla fine degli esami di matematica di quest'anno, una collega, la coordinatrice per l'istituto degli insegnanti di matematica, mi propone questo integrale:

Pensa che ti ripensa, utilizzando l'integrazione per parti si arriva ad un certo punto e ci si blocca. Non si prosegue più. Allora ecco che, per lo sfinimento e lo sconforto, utilizzo Wolfram Alpha con le seguenti chiavi di ricerca:

integral (x^3-x)/cos^2 x

Il risultato è quanto di più sorprendente si possa immaginare:

dove Li_n (x) è la funzione polilogaritmica, una funzione così definita:

il cui grafico è

Funzione particolare, sulla quale non mi dilungo, ma che presenta una interessante particolarità: per z=1 coincide con la zeta di Riemann, che infatti è presente nello sviluppo in serie dell'integrale di cui sopra intorno a x=0:

Per chiudere vi propongo il grafico della funzione integrale:

Come potrete notare sono presenti sia la parte reale sia la parte immaginaria della funzione, e questo perché una visione completa della funzione sarebbe possibile solo con un grafico in... 4D!