Ritratti: Niels Henrik Abel

Le origini della teoria dei gruppi sono drammatiche, nel senso che i due principali matematici che posero le fondamenta di questa branca della matematica evvero due vite piuttosto drammatiche conclusesi entrambe in giovane erà. Il primo dei due fu il norvegese Niels Henrik Abel, la cui biogfrafia viene così riassunta da Mario Livio ne L'equazione impossibile⁽¹⁾:

Che cosa si può dire di un ragazzo morto a ventisei anni? Che era timido e geniale. Che amava la matematica e il teatro. E che fu condannato a morte dalla povertà.

Nato il 5 agosto del 1802 dal pastore luterano Soren Georg Abel e da Anne Marie Simonsen, figlia di un mercante, immagino non ebbe certo un'infanzia semplice, tra un padre religioso e una madre, per così dire, allegra. Si possono solo immaginare le discussioni tra i due coniugi, discussioni che potrebbero aver influenzato il carattere di Abel ben più della figura paterna, che istruì personalmente Niels fino ai 13 anni, quando poi venne mandato alla Scuola Cattedrale di Christiania, l'attuale Oslo. Probabilmente l'allontanamento da una famiglia difficile (entrambi i genitori erano sostanzialmente alcolizzati) fu la prima delle poche fortune che la vita gli concesse. La seconda, in ordine di tempo, fu Bernt Michael Holmboe, giovane insegnante di matematica giunto alla Scuola Cattedrale per sostituire Hans Peter Bader allontanato a causa delle denunce di maltrattamenti inoltrate dai suoi studenti, tra cui lo stesso Niels.
Holmboe, in effetti, fu molto importante per Abel: innanzitutto introdusse un nuovo programma molto più moderno e poi, accorgendosi del talento matematico di Niels, lo incitò a leggere le opere di grandi matematici come Laplace, Newton, Gauss, Lagrange. E forse anche grazie agli entusiastici giudizi del suo insegnante durante il suo ultimo anno alla Scuola Cattedrale provò la grande sfida dell'epoca, risolvere una equazione di quinto grado usando gli strumenti più semplici di somme, moltiplicazioni e radici. Il giovane sottopose questo suo primo lavoro proprio al suo insegnante, il quale ritenendolo perfetto, lo inoltrò all'Università di Christiania, in particolare a Christopher Hansteen e Soren Rasmussen, che convennero con il giudizio di Holmboe. A questo punto l'insegnante inviò il manoscritto a Ferdinand Degen di Copenhagen per farlo pubblicare dall'Accademia Danese. Degen, da buon reviewer, chiese ad Abel una descrizione più dettagliata del risultato aggiungendo anche degli esempi numerici. E proprio alla ricerca di esempi, Niels si accorse che la sua soluzione era errata. Degen, però, gli consigliò di rivolgersi ad altri campi, come ad esempio gli integrali ellittici, perché avrebbero potuto riservare risultati e soddisfazioni migliori dello studio delle equazioni.
E in effetti Abel, entrato all'università nel 1821, grazie all'impegno di ben tre professori, tra cui Hansteen e Rasmussen, che finché poterono anche negli anni successivi cercarono di sostenere Niels anche dal punto di vista economico. Fu in effetti il terzo evento felice della vita di Abel, visto che usciva da un periodo familiare difficile, ricco di stenti e con l'insuccesso politico del padre, che cercò di diffamare senza successo due suoi colleghi di parlamento. Se l'insuccesso influenzò pesantemente il padre e la famiglia, certo non influenzò più di tanto la carriera accademica di Abel, almeno dal punto di vista scientifico, perché dal punto di vista dei finanziamenti già allora le istituzioni accademiche preferivano sostenere economicamente l'esperienza piuttosto che la bravura e il talento.
Senza, però, anticipare troppo, torniamo ai primi lavori scientifici di Abel, usciti tra il 1823 e il 1824. In particolare si segnala il suo terzo manoscritto, Soluzione di una coppia di proposizioni per mezzo di integrali definiti, dove si trova la matematica che farà da base alla radiologia moderna. Fu poi nel 1823 che Abel ebbe i primi contatti con matematici europei, quandopassò l'estate di quell'anno da uno zio a Copenaghen, dove conobbe anche la sua futura fidanzata, l'unica donna della sua vita, Christine Crelly Kemp. Il loro fidanzamento venne ufficializzato dopo il Natale del 1824, ma non riuscirono mai a concludere il loro sogno di un matrimonio e una vita insieme sia per le ristrettezze economiche (Niels non riuscì mai a ottenere un contratto stabile ed economicamente sufficiente per una famiglia, Crelly non andò mai semplici lavori da istitutrice) sia per il peggioramento delle condizioni di salute di Niels, preda della tubercolosi,contratta molto probabilmente durante il viaggio in Europa, forse a Parigi.
Infatti Hansteen e Rasmussen riuscirono a strappare un pur esiguo finanziamento dal Ministero delle Finanze per mandare Abel in Europa presso alcune università del continente. Tra i vincoli imposti dal Ministero, in particolare uno influenzò le finanze di Niel al suo ritorno in patria:

(...) Abel non avrebbe ricevuto denaro dopo il suo rientro in Norvegia.

Il periodo europeo, comunque, gli permise di stringere degli ottimi rapporti con August Leopold Crelle, uno dei primi editori scientifici di settore, fondatore del Crelle Journal, rivista di matematica, che pubblicò nel 1826 nel primo numero uscito quell'anno ben sei articoli firmati da Abel. Nel frattempo Rasmussen decise di abbandonare la carriera accademica per un lavoro in banca, liberando così un posto cui Abel concorse fino all'ultimo: come sostituto di Rasmussen, infatti, oltre al suo giovane pupillo concorse anche il primo maestro di Niels, Holmboe. Alla fine fu quest'ultimo ad essere preferito più che altro per la giovane età di Abel che, secondo la facoltà, non gli avrebbe consentito di insegnare la matematica in maniera proficua, nonostante il valore scientifico pendesse dalla parte dell'allievo e non dell'insegnante.
Superata la delusione, anche grazie agli amici con i quali stava intraprendendo il soggiorno nel continente, Niel raggiunse Parigi, la capitale della matematica europea dell'epoca. Qui produsse i suoi risultati migliori, tra cui la generalizzazione dell'integrale di Eulero⁽²⁾. Oltre all'importanza matematica del risultato, c'è da notare anche la biografia complicata del manoscritto di Abel sul suo lavoro. Revisionato da Legendre e Cauchy, non venne completamente compreso dal primo e venne addirittura perso dal secondo!
Ad ogni modo il primo a notare l'importanza della generalizzazione fu un altro grande della matematica, Jacob Jacobi, che scrisse a Legendre nel 1829:

E' una vera e propria scoperta, questa generalizzazione dell'integrale di Eulero! Nessuno lo ha notato? Ma come è possibile che il lavoro di Abel, forse la più importante scoperta matematica del nostro secolo, sia sfuggita alla sua attenzione e a quella dei suoi colleghi dopo essere stata comunicata all'Accademia più di due anni fa?

Seguiamo il lavoro stesso di Abel come traccia (ho utilizzato la traduzione in inglese di Recherches sur les fonctions elliptiques fatta da Marcus Emmanuel Barnes che potete scaricare su MathDL).
In matematica, si sa, esistono vari tipi di funzioni e dallo studio delle loro proprietà i matematici sono stati in grado di scoprire nuovi teoremi e particolari caratteristiche degli spazi geometrici. Una classe interessante di queste funzioni era quella delle funzioni ellittiche, che furono oggetto di studio da parte di Eulero per primo fra tutti. Nel dettaglio il matematico svizzero dimostrò la seguente identità:
\[\frac{\partial x}{\sqrt{\alpha + \beta x + \gamma x^2 + \delta x^3 + \epsilon x^4}} + \frac{\partial y}{\sqrt{\alpha + \beta y + \gamma y^2 + \delta y^3 + \epsilon y^4}}\]
Il passo successivo venne fatto da Legendre,che determinò le proprietà del seguente integrale:
\[\int \frac{R \partial x}{\sqrt{\alpha + \beta x + \gamma x^2 + \delta x^3 + \epsilon x^4}}\]
dove $R$ è una funzione razionale di $x$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, $\epsilon$ sono numeri reali.
Legendre dimostròl che questo integrale può essere ridotto al seguente
\[\int \frac{P \partial y}{\sqrt{a + b y^2 + c y^4}}\]
La generalizzazione di Abel, seguendo Wikipedia, consiste nel calcolo del seguente integrale sul piano complesso:
\[\int_{z_0}^z R (x, w)\]
con $R(x,w)$ una funzione razionale in $x$ e $w$. Le due variabili sono legate una all'altra dalla seguente equazione:
\[F (x,w) = 0\]
dove la funzione $F(x,w)$ è così definita:
\[F(x,w) = \phi_n (x) w^n + \cdots + \phi_1 (x) w + \phi_0 (x)\]
dove le funzioni $\phi_i (x)$ sono funzioni razionali in $x$. In un certo senso si possono vedere queste funzioni $\phi_i (x)$ come una parametrizzazione del percorso che porta dal punto $z_0$ al punto $z$ del piano complesso, e quindi il risultato stesso dell'integrale⁽³⁾ dipende dal percorso intrapreso, e non solo dagli estremi di integrazione.
Comunque la sfortunata storia del suo lavoro portò qualcosa di buono, come le relazioni epistolari con lo stesso Legendre e con il grande Jacobi, con quest'ultimo entusiasta estimatore del lavoro del norvegese.
Tornato in norvegia la situazione migliorò solo per poco tempo, quello necessario a collaborare con Hansteen a un progetto di ricerca sul campo magnetico terrestre. Per il resto, in effetti, le sue finanze vennero sempre influenzate dalla clausola con il Ministero delle Finanze che richiedeva a più riprese la restituzione dei fondi erogati per il viaggio in Europa, restituzione che l'università si rifiutò sempre di portare a termine, probabilmente anche a causa dell'esiguo stipendio che passava ad Abel.
Così, in queste condizioni di estrema povertà, Niels Abel morì il 6 aprile del 1829, ad appena 26 anni. E quasi come beffa del destino, giunse pochi giorni dopo, da un ignaro Crelle, una lettera nella quale gli comunicava che il Ministero dell'Istruzione di Berlino gli conferiva un impiego.
La storia di Abel, però, come ricordato all'inizio, è legata alle origini della teoria dei gruppi, una branca che contribuì a creare insieme con il francese Evariste Galois, morto anch'egli giovane, a 21 anni, questa volta non per malattia, ma per un duello che coinvolgeva una donna. Entrambi posero le basi per la teoria dei gruppi proprio partendo dallo studio impossibile delle soluzioni delle equazioni di 5.o grado.
Seguendo Rosen (3) iniziamo tracciando una breve storia dello studio delle equazioni.
E' cosa nota, perché fa parte del programma di matematica, che le soluzioni di equazioni del secondo grado del tipo⁽⁴⁾
\[x^2 + a x + b = 0\]
sono date da
\[x_{1,2} = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4b}}{2}\]
Le soluzioni delle equazioni di terzo grado
\[x^3 + a x^2 + b x + c = 0\]
vennero scoperte nel XVI secolo da S. del Ferro nel 1515, ma non fu pubblicata, e dal matematico italiano Tartaglia nel 1535, per venire poi alla luce solo grazie a Cardano, all'epoca uno dei due massimi matematici europei (l'altro era Tartaglia, of course!). Sostanzialmente per determinare le soluzioni si riduce l'equazione generale a una più semplice del tipo
\[x^3 + px + q = 0\]
operando il cambio di variabili
\[x \rightarrow x - \frac{a}{3}\]
I calcoli coinvolsero per la prima volta l'introduzione dei numeri immaginari, ovvero delle radici quadrate di numeri negativi. Le soluzioni delle equazioni di quarto grado, infine, vennero trovate da Ferrari, assistente di Cardano.
Le equazioni di quinto grado, invece, furono un avversario molto più difficile, almeno fino al 1799 quando Ruffini pubblicò una soluzione al problema, soluzione che stabiliva come fosse impossibile trovare soluzioni di equazioni di grado 5 usando operazioni come somme, moltiplicazioni e radicali. In effetti Abel, quando poi studiò il problema, si accorse che la dimostrazione di Ruffini era solo la metà di quella necessaria: così, di fatto, Abel completò la dimostrazione dell'italiano ed è per questo che oggi il teorema è noto come teorema di Abel-Ruffini.
Utilizzando la notazione della teoria dei gruppi, provo a raccontare brevemente il percorso che ha portato sia alla dimostrazione del teorema, sia a un particolare lemma che ha generato una particolare sottoclasse di gruppi.
Innanzitutto prendiamo una funzione polinomiale $f(x)$ di grado qualsiasi definita su un dato campo $K$ (che può essere l'insieme dei numeri reali o un altro insieme). A questo punto possiamo definire un campo particolare, il campo $F$ definito come le soluzioni dell'equazione $f(x) = 0$ calcolate nel campo $K$. A questo punto possiamo definire una torre radicale (radical tower) $E/K$ a partire dalla serie
\[k = E_0 \subset E_1 \subset \cdots \subset E_{m-1} \subset E_m = E\]
tale che $0 \leq i \leq m$, $E_{i+1} = E_i (\sqrt[p_i]{\alpha_i})$, dove $p_i$ è primo e $\alpha_i$ appartiene all'insieme aggiunto di $E_i$.
Ora se le soluzioni $F$ sono un sottoinsieme di questa torre radicale, allora l'equazione è risolvibile.
Abel dimostrò il seguente teorema:

Sia $f(x) = x^n - s_1 x^{n-1} + \cdots + (-1)^n s_n$ l'equazione generale di grado $n$ su $k$. Se $n \geq 5$ allora questa equazione non è risolvibile nei radicali.

In pratica Abel procedette in due passi: prima determinò un insieme delle soluzioni di $f(x)$, dimostrando che se questo insieme $L$ è contenuto in una torre radicale di $K$ associata con $f(x)$, allora anche $L/K$ è una torre radicale, quindi dimostrò che se $n \geq 5$ allora $L/K$ non è una torre radicale, e quindi l'equazione non è risolvibile.
Mentre la seconda parteera già stata dimostrata da Ruffini (dimostrazione che, in ogni caso, Abel rifece da zero), fu la prima parte il contributo aggiuntivo del matematico norvegese, che scoprì anche il seguente lemma:

Sia $f(x) \in K[x]$ e supponiamo che $\theta_1$, $\theta_2$, ... $\theta_n$ siano le sue radici in una qualche estensione del campo $K$. Supponiamo che ciascuna $\theta_i$ sia una funzione razionale di $\theta_1$, ovvero ogni $\theta_i = R_i (\theta_1)$ dove $R_i (x) \in K[x]$. Supponiamo inoltre che per ogni coppia $i$, $j$ sia vera
\[R_i \left( R_j (\theta_1) \right ) = R_j \left( R_i (\theta_1) \right )\]
Allora $f(x) = 0$ è risolvibile nei radicali.

In pratica il lemma definisce i gruppi abeliani, ovvero quei gruppi per i quali vale la proprietà commutativa, che poi è quella che vale per gli operatori (o funzioni) $R_i$, $R_j$ definiti nel lemma di Abel.
In questo modo si può semplicemente scrivere che, se il gruppo delle soluzioni di una equazione polinomiale è un gruppo abeliano allora, indipendentemente dal grado del polinomio, l'equazione ha soluzione nei radicali.

Tutta questa genialità, comunque, venne ricordata solo nel 2002 con l'istituzione, da parte della Norvegia, dell'Abel Prize, un premio che da una parte sostituisce l'assenza del Nobel per la Matematica e dall'altra si mette in competizione con le Fields Medals che vengono però assegnate ogni 4 anni.
Dal sito dell'Abel Prize è possibile trovare una pagina riguardante la letteratura su Abel, la biografia scientifica e il minisito con i suoi lavori scientifici.
Un'ultima veloce citazione in fondo al Ritratto va al teorema binomiale di Abel.

(1) In effetti è una variazione sull'incipit di Love Story di Erich Segal.
(2) In effetti sulla wiki come integrale di Eulero vengono indicati due integrali particolari. Il primo, detto del primo tipo, definisce la così detta funzione beta:
\[B (x,y) = \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} \text{d} t = \frac{\Gamma (x) \Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}\]
dove la funzione gamma $\Gamma (z)$ è data dall'integrale di Eulero di secondo tipo:
\[\Gamma (z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} \text{d} t\]
(3) Come integrale di Abel ho trovato un breve articolo, fatto sostanzialmente di calcoli, su MathWorld
(4) Niels Hendrik Abel and Equations of the Fifth Degree, American Mathematical Monthly, vol. 102 (1995), pp. 495-505
(5) In effetti l'equazione più generale è
\[ax^2 + bx + c = 0\]
ma dividendo ambo i membri per $a$ ci si riduce alla forma su indicata

Rosen, M. (1995). Niels Hendrik Abel and Equations of the Fifth Degree The American Mathematical Monthly, 102 (6) DOI: 10.2307/2974763