Le grandi domande della vita: Un integrale sensato?

Mi sono imbattuto in una domanda a dir poco curiosa, se non strana, in cui ci si chiedeva il significato di questa scrittura: \[\int x^{dx} - 1\] Qualcuno ha provato a fornire una risposta in maniera più o meno creativa proponendo come risultato \[x \cdot \ln x - x + C\] e considerando il \(-1\) all'interno dell'integrale.
Personalmente sono partito dal fatto che l'integrale in effetti è il limite di una somma che, nel caso di un integrale definito, conduce all'area della curva in un dato intervallo. In questo caso potremmo considerare l'integrale di cui sopra come \[\lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \sum x^\varepsilon\] Vedendo l'integrale in questi termini mi sono divertito a calcolare il valore della somma di \(x^\varepsilon\) in un intervallo finito, tra 1 e 2, con un valore dell'esponenziale basso ma non bassissimo, 0.01 ottenendo come risultato un valore di poco superiore a 101. Ovvero \[100 (= \frac{1}{0.01}) + 1 + \omicron\] dove con \(\omicron\) ho indicato una quantità piccola, ma comunque positiva. E questa quantità, passando da 1/100 a 1/1000, diminuisce, seppur di poco. Il sospetto è quindi che al limite di \(\varepsilon \rightarrow 0\) si otterrà come risultato il numero di intervallini in cui è stato diviso l'intervallo del calcolo, ovvero infinito!
Come avete visto, a differenza delle risposte di altri utenti, ho tenuto il \(-1\) fuori dall'integrale, visto che non c'è nulla che assicuri che sia al suo interno. O per meglio dire visto che manca un \(dx\) dopo il numero. Al di là di questo dettaglio, l'espressione di partenza, almeno al sottoscritto, ha portato a un valore che tende a dare un risultato sempre più grande man mano che si porta l'esponente a un valore sempre più piccolo. La conseguenza è che il risultato dell'integrale dovrebbe essere una funzione che da un risultato divergente qualunque sia l'intervallo al cui interno andiamo a calcolare il corrispondente integrale definito.
Alla fine voi che leggete potreste tranquillamente chiedevi se tutto ciò ha senso. Per me la risposta è: sì, ha senso chiedersi il significato di qualcosa di inusuale e, magari, andare a cercarlo. A volte le risposte risultano sorprendenti, anche quando non sono di nostro gradimento!