Calcolo di un volume

In questo periodo sto provando a preparare una quinta all'esame di stato. Il provare dipende essenzialmente dal fatto che la classe non sembra essere particolarmente interessata ad arrivare all'esame e sto arrivando alle minacce di insufficienze. A parte questi problemi, però, sto al momento affrontando il secondo problema del compito d'esame dello scorso anno, in particolare il quesito in cui viene richiesto il volume di un solido $W$. Data una regione $R$ del piano $xy$, base del solido $W$, di quest'ultimo sappiamo che le sezioni sono

ottenute tagliando $W$ con piani perpendicolari all'asse $x$

e

hanno, per ogni $0 <= x <= 3$, area $S(x) = e^{5-3x}$

Per determinare il volume del solido basta integrare, nell'intervallo $[0, 3]$ la sezione $S(x)$.
Se in questa soluzione non viene giustificata per nulla questa scelta, nella soluzione proposta dal Sole 24 Ore si propone la seguente giustificazione:

Le informazioni su $W$ sono insufficienti a ricavarne la sua esatta forma, ma sufficienti per la determinazione del volume. Inoltre, l'infomazione sul fatto che $R$ sia la sua base è irrilevante. La superficie delle sezioni, e l'intervallo delle ascisse su cui queste sezioni sono non nulle, sono gli ingredienti necessari a dare una formulazione integrale del volume in questione

Che l'informazione sul fatto che $R$ sia base di $W$ sia irrilevante è sicuramente corretta, ma ciò che a me interessa è poter dimostrare tale affermazione, ed è quello che ho cercato di fare con la classe nel tentativo di farli ragionare e farli arrivare alla soluzione⁽¹⁾.
L'idea è ricordare che il volume di un solido è sempre il prodotto tra un'area di base e una altezza.
L'area di base sappiamo calcolarla, poiché viene richiesto nel primo punto del secondo problema, quindi l'idea è cercare di ricavare l'altezza della superficie $S(x)$. Per fare ciò posso scrivere l'area di ciascuna sezione come $$S(x) = b(x) \cdot h(x)$$ dove $b(x) = c(x) - p(x)$, con $c(x)$, $p(x)$ rispettivamente arco di una circonferenza e arco di una parabola.
Il volume infinitesimo $d V_W$ sarà dato da $h(x) \cdot b(x) d x$, dove $b(x) dx$ sarà la superficie infinitesima associata con l'altezza $h(x)$. A questo punto sommando tutti gli infinitesimi volumi si ottiene l'integrale $$\int_0^3 h(x) \cdot b(x) d x$$ che si riduce all'integrale $$\int_0^3 S(x) dx$$ come volevasi dimostrare.

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(1) Il post è programmato per la pubblicazione subito dopo la fine della lezione.