Matematica, lezione 19: L'analisi

Di fatto il 19.mo volume si concentra sullo studio delle funzioni: limiti, asintoni, derivate e calcolo integrale sono i caposaldi del testo, e anche della prima parte dell'omonimo esame universitario. Salvatore Fragapane accompagna il lettore attraverso un formalismo che, bene o male, in parte viene anche visto alle scuole superiori grazie a un testo chiaro e semplice da seguire, al netto del formalismo matematico, ovviamente. Non mancano gli esempi, in questo caso geometrici che forniscono una interpretazione in un certo senso pratica di ognuno dei concetti approfonditi. Forse solo la parte dedicata agli integrali risulta un po' più debole: non tanto per la ovvia sintesi sull'argomento, che se trattato con un discreto approfondimento avrebbe bisogno di almeno un testo lungo quanto quello proposto nel volume, quanto per l'assenza esplicita del collegamento con l'operazione di limite, che è appena abbozzata.

Wikiritratti: Henri Poincaré

In un certo senso Henri Poincaré e Albert Einstein si ignorarono uno con l'altro. Né il matematico, né il fisico citarono i rispettivi lavori nel campo della relatività speciale, almeno fino al 1921, 9 anni più tardi della morte del francese, quando Einstein nel corso della sua conferenza Geometrie und Erfahrung non citò il lavoro di Poincaré sulle geometrie non euclidee. Dovevano passare ancora diversi anni prima che il fisico teorico riconoscesse in qualche modo l'importanza di Poincaré nello sviluppo della relatività speciale. In particolare affermò che

Lorentz aveva riconosciuto che la trasformazione che porta il suo nome è essenziale per l'analisi delle equazioni di Maxwell, e Poincaré aveva ulteriormente approfondito questo punto di vista.

Ozio creativo

Il concetto di ozio creativo sembra sia stato elaborato dal sociologo Domenico De Masi

Nella società post-industriale in cui la creatività predomina sulla manualità, i confini tra lavoro, studio e gioco si confondono. Questa fusione genera l'ozio creativo. Una situazione in cui si lavora senza accorgersi di farlo.

Però uno degli esempi che più mi piacciono sul successo dell'ozio creativo viene dal grande matematico francese Henri Poincaré:

(...) partii da Caen, dove vivevo, per partecipare a un'escursione geologica sotto gli auspici dell'Ecole des Mines. Le vicende del viaggio mi fecero dimenticare il mio lavoro matematico. Giunti a Coutances, salimmo su un omnibus per andare in qualche posto. Quando misi piede sul predellino mi venne l'idea, alla quale nulla nei miei pensieri precedenti sembrava aver preparato la strada, che le trasformazioni da me usate per definire le funzioni fuchsiane fossero identiche a quelle della geometria non euclidea. Non verificai l'idea; non ne avrei avuto il tempo mentre stavo prendendo posto sull'omnibus. Continuai una conversazione già cominciata in precedenza, ma mi sentivo perfettamente certo. Al ritorno a Caen verificai con comodo il risultato.

Questa citazione, nella traduzione di Libero Sosio, viene riportata da Roger Penrose nel suo La mente nuova dell'imperatore ed è a sua volta tratta da un libro del 1945 del matematico francese Jacques Hadamard sulla psicologia dell'invenzione matematica.
Concludo questa sorta di elogio dell'ozio segnalandovi una serie di citazioni sull'ozio, alcune delle quali decisamente condivisibili.

Tuono Pettinato racconta Albert Einstein

Il viaggio di @TuonoPettinato nella #relatività cc @andreaplazzi @maddmaths @ComicsScience @marcocattaneo @le_scienze

Il numero di novembre de Le Scienze, portato in anteprima sabato 1 novembre a Lucca Comics & Science, è un'uscita speciale dedicata ai cento anni della relatività generale di Albert Einstein.
Il numero è costituito soprattutto dagli articoli usciti su Scientific American #313, come per esempio l'articolo introduttivo di Brian Greene⁽¹⁶⁾ o quello su viaggi e paradossi temporali di Tim Folger⁽¹⁷⁾ (vi ricordo a tal proposito del mio post Paradosso cosmico) introdotto da un fumetto di Asaf Hanuka. Ed è proprio un fumetto il contributo più originale realizzato in tema con il numero speciale: Albert & me di Tuono Pettinato.
La storia è estremamente breve, ma molto efficace: in 8 pagine, aiutato dalle versioni fumettistiche di Amedeo Balbi e Carlo Rovelli, Pettinato racconta in maniera gradevole e fisicamente ben argomentata la vita e le opere di Einstein, con una struttura e un umorismo che ricordano le biografie che mensilmente propone per linus.
Esempio lampante dei toni leggeri e ironici è proprio la prima pagina con l'appena accennato "litigio" tra Amedeo e Rovelli che si conclude con questa gustosa striscia:

In effetti una delle citazioni più belle di Einstein può essere inquadrata proprio nell'ottica dell'ozio creativo:

La creatività è il residuo della perdita di tempo⁽¹⁾

E' interessante osservare come Henri Poincaré abbia raccontato un episodio non troppo distante dall'ottica dell'affermazione di Einstein: il matematico fracese, che come vedremo più avanti ebbe un ruolo nello sviluppo della relatività speciale, racconta come una pausa (un'escursione geologica) negli infruttuosi tentativi per risolvere un problema matematico particolarmente ostico, si rivelò invece decisiva per sbloccare la sua creatività.

Il secondo principio di relatività

Durante i suoi primi passi, la relatività speciale incrociò la strada con l'elettrone e la ricerca della sua massa

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La relatività speciale di Albert Einstein proponeva alcuni elementi rivoluzionari, fornendo innanzitutto una serie di strumenti matematici e di discorsi epsitemologici a supporto di una serie di osservazioni apparentemente assurde, prima fra tutte la non conservazione delle equazioni di Maxwell sotto l'azione delle trasformazioni di Galileo.
Le trasformazioni di Galileo sono una serie (sistema) di equazioni che permettono di comporre le velocità relative di sistemi di riferimento in moto uno rispetto all'altro. Quando si applicano queste trasformazioni alle equazioni di Maxwell, ovvero l'insieme di equazioni che descrivono il comportamento del campo elettromagnetico, si scopre che queste vengono in qualche modo modificate. I casi erano due: o il campo elettromagnetico aveva realmente un comportamento differente in base al sistema di riferimento, o le trasformazioni di Galileo non erano così universali come si pensava. In effetti a non essere universali sono le trasformazioni di Galileo (su cui, per esempio, si basa l'equazione di Schroedinger, che funziona benissimo perché il sistema che descrive non è relativistico), per cui erano necessarie delle nuove trasformazioni in grado di esprimere l'universalità dell'elettromagnetismo: le trasformazioni di Lorentz su cui si basa la relatività speciale. Queste ultime infatti vengono ricavate a partire dalla variazione relativistica del principio di inerzia⁽¹¹⁾ (o dal primo principio di relatività), ispirato dal lavoro di Mach:

Le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali

e da quello che può essere considerato come il secondo principio della relatività⁽¹¹⁾:

La velocità della luce è la stessa in qualunque sistema di riferimento inerziale

Un modo semplice per comprendere il funzionamento di questo principio è immaginare che tre sorgenti di luce poste alla stessa distanza da noi, di cui una fissa, una in allontanamento e una in avvicinamento rispetto a noi, ci mandano un raggio luminoso e una pallina, quest'ultima lanciata alla stessa velocità iniziale da ciascuna sorgente. Indipendentemente dal moto di ciascuna delle tre sorgenti, i tre raggi luminosi ci arriveranno contemporaneamente, mentre le palline arriveranno in tre istanti differenti in base al moto relativo di ciascuna sorgente.

Il teorema del ritorno di Poincaré

Prima di tutto il teorema di Liouville:

Il flusso nello spazio delle fasi, corrispondente alle equazioni di Hamilton, conserva il volume in questo spazio.⁽³⁾

Conseguenza è che un sistema hamiltoniano stabile non può essere asintoticamente stabile⁽³⁾
Il teorema del ritorno di Poincaré (anche detto della ricorrenza) quindi stabilisce che:

Sia $g$ una trasformazione continua, biunivoca, che conservi il volume, che porti una regione limitata $D$ dello spazio euclideo in sé: $gD = D$.
Allora in ogni intorno $U$ di un punto qualsiasi della regione $D$ esiste un punto $x \in U$ che ritorna in $U$, cioè $g^n x \in U$, per qualche $n > 0$.⁽³⁾

Questo particolare teorema scoperto dal famoso matematico francese apparve per la prima volta sul famoso articolo Sur le probléme des trois corps et les équations de la Dynamique⁽¹⁾ con cui Poincaré vinse il concorso indetto dal re Oscar II di Svezia, appassionato matematico, per la risoluzione di alcuni problemi di analisi.
A seguito del teorema, alcuni risultati apparentemente paradossali: il primo riguarda il moto di una pallina in una buca asimmetrica: per quanto questo sia ignoto, si può star certi che prima o poi essa tornerà nelle vicinanze del punto di partenza⁽³⁾:

Un altro risultato paradossale, che segue alla combinazione dei due teoremi di Liouville e Poincaré, e che è intuibile già a partire dalla pallina nella buca asimmetrica, è legato alla termodinamica: se apriamo un passaggio tra due camere, una completamente vuota e una completamente piena di un qualche gas, dopo un certo tempo le molecole del gas si raccoglieranno nuovamente tutte nella prima camera⁽³⁾.

La soluzione del paradosso sta nel fatto che questo "certo tempo" è maggiore della vita del sistema solare⁽³⁾.

Il caso

"Come osa parlare delle leggi del caso? Il caso non è forse l'antitesi di tutte le leggi?" Così dice Bertrand all'inizio del suo Calcul des probabilités (Calcolo delle probabilità). La probabilità è opposta alla certezza, questa è tutto ciò che è sconosciuto e quindi sembra che non si possa calcolare. Vi è una contraddizione apparente, almeno, su cui molto è già stato scritto. Prima di tutto cos'è il caso? Gli antichi distinguevano tra i fenomeni che sembravano obbedire alle leggi armoniose stabilite una volta per tutte mentre quelli attribuiti al caso erano quelli che non potevano essere previsti perché erano ribelli a qualunque legge. In ogni area, legislazioni specifiche non decidevano nulla, hanno solo tracciato i limiti entro i quali era permesso muoversi in maniera casuale. In questo progetto, la possibilità di parola aveva un preciso significato, uno scopo: quella che è stata l'occasione per uno, era anche l'occasione per un altro e anche per gli dei.

(Henri Poincaré, Science et Méthode, traduzione dall'originale francese con l'ausilio di Google Translate passando però dall'inglese | un grazie a pollon sbattimento).