Questo 2025 ormai agli sgoccioli è stato dedicato alla meccanica quantistica per ricordare i 100 anni dalla formulazione matriciale di Werner Heisenberg e di quella ondulatoria di Erwin Schrodinger. Come ho scritto in varie occasioni, non ultima la recensione di Tutti i colori del corpo nero di Paolo de Bernardis, la storia della meccanica quantistica inizia tra 1899 e 1900 con l'introduzione della costante di Planck e del concetto di quanto da parte, appunto, di Max Planck. Concetto che venne successivamente utilizzato da Albert Einstein per trovare una spiegazione dell'effetto fotoelettrico.
Dopo questi primi successi Niels Bohr fornì alcuni contributi essenziali, per quanto poi rivelatisi non corretti, avendo però avuto soprattutto il merito di aver creato una vera e propria scuola, la scuola di Copenaghen, da cui appunto emersero i contributi di Heisenberg e Schrodinger e soprattutto l'interpretazione probabilistica della meccanica quantistica.
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lunedì 8 dicembre 2025
giovedì 10 maggio 2018
Il meraviglioso mondo quantistico
Mi piace pensare che il XX secolo della fisica sia iniziato un po' prima rispetto all'indicazione standard e molto prima rispetto all'altrettanto classica denominazione di secolo breve.
La prima scoperta rilevante del XX secolo in fisica è, infatti, quella della costante di Planck: siamo tra il 1899 e il 1900 quando Max Planck la introdusse per spiegare le emissioni di un corpo nero evitando la così detta catastrofe dell'ultravioletto. Per capirla partiamo dalla definizione di corpo nero: un oggetto che assorbe tutta la radiazione incidente.
Studiando il corpo nero con la fisica classica, giunto all'equilibrio termico con l'ambiente esterno, avrebbe dovuto emettere radiazione elettromagnetica con potenza infinita, cosa che non era verificata sperimentalmente. L'equazione introdotta da Planck senza alcuna dimostrazione matematica era in grado di spiegare l'assenza di tale catastrofe grazie all'utilizzo della così detta azione elementare, la già citata costante di Planck: \[h = 6.626070 \cdot 10^{-34} J \cdot s\] L'azione è una grandezza fisica utilizzata per studiare il moto di un oggetto e, in un certo senso, valutare lo "sforzo" compiuto dal sistema per muoversi. Ha le dimensioni di un'energia per un tempo (quindi potremmo descriverla come il prodotto tra l'energia spesa e il tempo necessario per spenderla) e, come funzione, può assumere valori differenti in funzione della traiettoria percorsa. Il principio di minima azione stabilisce che in natura il percorso preferito dal sistema è quello (o quelli) in cui l'azione è minima. La costante di Planck è allora il valore minimo assoluto che può assumere una qualsiasi azione, ovvero non esiste alcun sistema fisico che può accedere a un'azione inferiore ad $h$.
Il valore fondamentale di tale costante è evidente quando osserviamo che se fosse dieci volte più piccola, delle semplici braci emetterebbero luce 1000 più intensa e a frequenze ultraviolette, oppure una stella non sarebbe più in grado di fondere l'idrogeno in deuterio e produrre elio.
La costante di Planck
Studiando il corpo nero con la fisica classica, giunto all'equilibrio termico con l'ambiente esterno, avrebbe dovuto emettere radiazione elettromagnetica con potenza infinita, cosa che non era verificata sperimentalmente. L'equazione introdotta da Planck senza alcuna dimostrazione matematica era in grado di spiegare l'assenza di tale catastrofe grazie all'utilizzo della così detta azione elementare, la già citata costante di Planck: \[h = 6.626070 \cdot 10^{-34} J \cdot s\] L'azione è una grandezza fisica utilizzata per studiare il moto di un oggetto e, in un certo senso, valutare lo "sforzo" compiuto dal sistema per muoversi. Ha le dimensioni di un'energia per un tempo (quindi potremmo descriverla come il prodotto tra l'energia spesa e il tempo necessario per spenderla) e, come funzione, può assumere valori differenti in funzione della traiettoria percorsa. Il principio di minima azione stabilisce che in natura il percorso preferito dal sistema è quello (o quelli) in cui l'azione è minima. La costante di Planck è allora il valore minimo assoluto che può assumere una qualsiasi azione, ovvero non esiste alcun sistema fisico che può accedere a un'azione inferiore ad $h$.
Il valore fondamentale di tale costante è evidente quando osserviamo che se fosse dieci volte più piccola, delle semplici braci emetterebbero luce 1000 più intensa e a frequenze ultraviolette, oppure una stella non sarebbe più in grado di fondere l'idrogeno in deuterio e produrre elio.
venerdì 12 maggio 2017
Le grandi domande della vita: da Zermelo a Planck
Tra domande improbabili e argomenti seri in questa puntata scendiamo nelle fondamenta della matematica (ancora una volta!) e della fisica, partendo da...
Nel 1908, Ernst Zermelo propose un primo insieme di assiomi per la teoria degli insiemi, ma, come scritto nel 1921 da Abraham Fraenkel in una lettera allo stesso Zermelo, questa prima proposta risultava incapace di mostrare l’esistenza di alcuni tipi di insiemi o l’esistenza dei numeri cardinali.
A partire dal lavoro di Zermelo, nel 1922 Fraenkel e, indipendentemente, Thoralf Skolem svilupparono un nuovo sistema costituito da 8 assiomi che, insieme con l’assioma della scelta, costituiscono i così detti assiomi di Zermelo-Fraenkel e la base per la teoria degli insiemi e per la matematica tutta.
Nonostante i teoremi di incompletezza di Kurt Godel, che mostrano come in questo sistema esistano delle affermazioni indecidibili (ovvero di cui non è possibile valutare la verità o la falsità), la teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel continua ad avere un’importanza essenziale nella matematica moderna, soprattutto per motivazioni storiche: tale sistema è in effetti la sintesi del lavoro di molti matematici e logici, tra cui non si può dimenticare Bertrand Russell, che accettarono la sfida di David Hilbert di risolvere l’ipotesi sull’infinito di Georg Cantor e di assiomatizzare in maniera completa la matematica. Questi sforzi, che alla fine portarono alla comprensione che non esisterà mai un sistema di assiomi che rende la matematica completa, continuarono comunque anche dopo l’accettazione della teoria ZFC, come ad esempio la teoria degli insiemi di Tarski–Grothendieck sviluppata da Alfred Tarski e Alexander Grothendieck(1).
A partire dal lavoro di Zermelo, nel 1922 Fraenkel e, indipendentemente, Thoralf Skolem svilupparono un nuovo sistema costituito da 8 assiomi che, insieme con l’assioma della scelta, costituiscono i così detti assiomi di Zermelo-Fraenkel e la base per la teoria degli insiemi e per la matematica tutta.
Nonostante i teoremi di incompletezza di Kurt Godel, che mostrano come in questo sistema esistano delle affermazioni indecidibili (ovvero di cui non è possibile valutare la verità o la falsità), la teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel continua ad avere un’importanza essenziale nella matematica moderna, soprattutto per motivazioni storiche: tale sistema è in effetti la sintesi del lavoro di molti matematici e logici, tra cui non si può dimenticare Bertrand Russell, che accettarono la sfida di David Hilbert di risolvere l’ipotesi sull’infinito di Georg Cantor e di assiomatizzare in maniera completa la matematica. Questi sforzi, che alla fine portarono alla comprensione che non esisterà mai un sistema di assiomi che rende la matematica completa, continuarono comunque anche dopo l’accettazione della teoria ZFC, come ad esempio la teoria degli insiemi di Tarski–Grothendieck sviluppata da Alfred Tarski e Alexander Grothendieck(1).
sabato 12 dicembre 2015
I rompicapi di Alice: Il moto perpetuo
Al pari della ricerca sulla pietra filosofale, il misterioso materiale alchemico che dovrebbe permettere la trasmutazione degli elementi, in particolare dei metalli vili nel prezioso oro, c'è la ricerca di uno strumento in grado di generare il moto perpetuo, ovvero un ingranaggio in grado di muoversi in maniera indefinita senza alcuna necessità di alimentazione dall'esterno.
Come vedremo questa ricerca ha ben più di un migliaio di anni e continua ancora oggi, tra persone che genuinamente (e un po' ingenuamente, verrebbe da aggiungere) cercano di ottenere quello che sarebbe un salto tecnologico non indifferente e truffatori veri e propri. Il modo migliore per affrontare tutti questi è ricordare ciò che disse Richard Feynman ad alcuni studenti che lo invitavano a una dimostrazione per un motore a moto se non perpetuo ma piuttosto lungo:
La ruota di Bhaskara II
Il primo strumento che avrebbe dovuto realizzare il moto perpetuo era la così detta ruota magica, una ruota che gira sul proprio asse il cui movimento sarebbe dovuto essere alimentato da una serie di calamite. Questo strumento fece la sua prima apparizione nell'ottavo secolo in Baviera: progettato per ruotare in perpetuo venne sconfitto, sul lungo periodo, dall'attrito, che così costrinse la ruota magica a piegarsi all'inevitabile fine termodinamica. Sebbene i tempi non combacino, si dice in giro che questa ruota magica dalla Baviera sia basata su un progetto precedente proposto dal matematico e astronomo indiano Bhaskara II, vissuto nel dodiciesimo secolo.
La sua opera più importante è il Siddhanta-Shiromani, la corona dei trattati, opera in versi dove, tra gli altri, arriva a calcolare per approssimazione la derivata del seno \[\frac{\text{d}}{\text{d} y} \sin y = \cos y\] Ha anche realizzato una dimostrazione del teorema di Pitagora, mentre la sua strada si è incrociata, come può solo nei tortuosi percorsi della matematica, con quella di Pierre de Fermat, il matematico dilettante noto per lanciare le sfide ai colleghi più titolati, come nel caso del meglio noto ultimo teorema di Fermat o di un'altra equazione diofantea: \[61 x^2 + 1 = y^2\] Quest'ultima, proposta nel 1657, venne risolta nel 18.mo secolo dallo svizzero Eulero, a meno di non considerare la soluzione già scoperta 6 secoli prima proprio da Bhaskara II.
Come astronomo la maggior parte dei suoi contributi sono contenuti nel già citato Siddhanta-Shiromani, dove, come abbiamo visto, ha sviluppato alcuni concetti della trigonometria, branca della matematica importante, se non addirittura necessaria per compiere delle osservazioni quanto più precise possibile.
Ad ogni buon conto Bhaskara II è, astronomicamente parlando, erede di Aryabhata (quarto secolo) e Brahmagupta (settimo secolo) che svilupparono, con circa un millennio di anticipo sugli astronomi europei, un modello eliocentrico. Poggiando su queste basi teoriche e osservative, Bhaskara II realizza una serie di osservazioni sui corpi celesti, primi fra tutti luna e sole.
Come ingegnere, invece, è meglio noto per la ruota di Bhaskara, una ruota i cui raggi erano parzialmente riempiti di mercurio. Secondo Bhaskara sarebbe stato proprio questo mercurio a garantire il moto perpetuo della ruota(2).
Come vedremo questa ricerca ha ben più di un migliaio di anni e continua ancora oggi, tra persone che genuinamente (e un po' ingenuamente, verrebbe da aggiungere) cercano di ottenere quello che sarebbe un salto tecnologico non indifferente e truffatori veri e propri. Il modo migliore per affrontare tutti questi è ricordare ciò che disse Richard Feynman ad alcuni studenti che lo invitavano a una dimostrazione per un motore a moto se non perpetuo ma piuttosto lungo:
Dovete chiedervi: 'Dove si trova il rifornimento di energia?'(1)
La ruota magica
La ruota di Bhaskara II
La sua opera più importante è il Siddhanta-Shiromani, la corona dei trattati, opera in versi dove, tra gli altri, arriva a calcolare per approssimazione la derivata del seno \[\frac{\text{d}}{\text{d} y} \sin y = \cos y\] Ha anche realizzato una dimostrazione del teorema di Pitagora, mentre la sua strada si è incrociata, come può solo nei tortuosi percorsi della matematica, con quella di Pierre de Fermat, il matematico dilettante noto per lanciare le sfide ai colleghi più titolati, come nel caso del meglio noto ultimo teorema di Fermat o di un'altra equazione diofantea: \[61 x^2 + 1 = y^2\] Quest'ultima, proposta nel 1657, venne risolta nel 18.mo secolo dallo svizzero Eulero, a meno di non considerare la soluzione già scoperta 6 secoli prima proprio da Bhaskara II.
Come astronomo la maggior parte dei suoi contributi sono contenuti nel già citato Siddhanta-Shiromani, dove, come abbiamo visto, ha sviluppato alcuni concetti della trigonometria, branca della matematica importante, se non addirittura necessaria per compiere delle osservazioni quanto più precise possibile.
Ad ogni buon conto Bhaskara II è, astronomicamente parlando, erede di Aryabhata (quarto secolo) e Brahmagupta (settimo secolo) che svilupparono, con circa un millennio di anticipo sugli astronomi europei, un modello eliocentrico. Poggiando su queste basi teoriche e osservative, Bhaskara II realizza una serie di osservazioni sui corpi celesti, primi fra tutti luna e sole.
Come ingegnere, invece, è meglio noto per la ruota di Bhaskara, una ruota i cui raggi erano parzialmente riempiti di mercurio. Secondo Bhaskara sarebbe stato proprio questo mercurio a garantire il moto perpetuo della ruota(2).
venerdì 13 novembre 2015
Tuono Pettinato racconta Albert Einstein
Il numero di novembre de Le Scienze, portato in anteprima sabato 1 novembre a Lucca Comics & Science, è un'uscita speciale dedicata ai cento anni della relatività generale di Albert Einstein.
Il numero è costituito soprattutto dagli articoli usciti su Scientific American #313, come per esempio l'articolo introduttivo di Brian Greene(16) o quello su viaggi e paradossi temporali di Tim Folger(17) (vi ricordo a tal proposito del mio post Paradosso cosmico) introdotto da un fumetto di Asaf Hanuka. Ed è proprio un fumetto il contributo più originale realizzato in tema con il numero speciale: Albert & me di Tuono Pettinato.
La storia è estremamente breve, ma molto efficace: in 8 pagine, aiutato dalle versioni fumettistiche di Amedeo Balbi e Carlo Rovelli, Pettinato racconta in maniera gradevole e fisicamente ben argomentata la vita e le opere di Einstein, con una struttura e un umorismo che ricordano le biografie che mensilmente propone per linus.
Esempio lampante dei toni leggeri e ironici è proprio la prima pagina con l'appena accennato "litigio" tra Amedeo e Rovelli che si conclude con questa gustosa striscia:
In effetti una delle citazioni più belle di Einstein può essere inquadrata proprio nell'ottica dell'ozio creativo:
Il numero è costituito soprattutto dagli articoli usciti su Scientific American #313, come per esempio l'articolo introduttivo di Brian Greene(16) o quello su viaggi e paradossi temporali di Tim Folger(17) (vi ricordo a tal proposito del mio post Paradosso cosmico) introdotto da un fumetto di Asaf Hanuka. Ed è proprio un fumetto il contributo più originale realizzato in tema con il numero speciale: Albert & me di Tuono Pettinato.
La storia è estremamente breve, ma molto efficace: in 8 pagine, aiutato dalle versioni fumettistiche di Amedeo Balbi e Carlo Rovelli, Pettinato racconta in maniera gradevole e fisicamente ben argomentata la vita e le opere di Einstein, con una struttura e un umorismo che ricordano le biografie che mensilmente propone per linus.
Esempio lampante dei toni leggeri e ironici è proprio la prima pagina con l'appena accennato "litigio" tra Amedeo e Rovelli che si conclude con questa gustosa striscia:
La creatività è il residuo della perdita di tempo(1)E' interessante osservare come Henri Poincaré abbia raccontato un episodio non troppo distante dall'ottica dell'affermazione di Einstein: il matematico fracese, che come vedremo più avanti ebbe un ruolo nello sviluppo della relatività speciale, racconta come una pausa (un'escursione geologica) negli infruttuosi tentativi per risolvere un problema matematico particolarmente ostico, si rivelò invece decisiva per sbloccare la sua creatività.
sabato 26 maggio 2012
Effetto fotoelettrico
L'effetto fotoelettrico è semplicemente quel fenomeno fisico per cui, quando un metallo viene investito da una radiazione elettromagnetica opportuna, questi emette elettroni, detti anche fotoelettroni.
La prima osservazione di questo effetto risale a un esperimento del 1887 di Heinrich Hertz, che ha pubblicato i risultati su Annalen der Physik(2). Il suo dispositivo era costituito da una bobina con uno spinterometro, in modo da osservare una scintilla per ogni onda elettromagnetica. Hertz pose il suo apparato in una camera oscura per vedere meglio le scintille, ma incredibilmente la massima lunghezza delle scintille prodotte era ridotta quando l'esperimento era condotto al buio. Inoltre Hertz pose un pannello di vetro tra la sorgente delle onde elettromagnetiche e lo strumento: questo pannello assorbiva la radiazione elettromagnetica che accompagnava gli elettroni nel loro salto nel buio e sostituendolo con il quarzo Hertz si aspettava che la scintilla sarebbe aumentata. Ebbene questo effetto non venne osservato, così Hertz concluse che il quarzo non aveva alcun potere di assorbimento delle radiazioni elettromagnetiche(1).
Dopo Hertz ci furono un po' di altri ricercatori che immediatamente cercarono di percorrere le orme di Hertz (tra questi anche l'italiano Augusto Righi), ma saltiamo tutti questi tentativi per andare immediatamente all'esperimento di Lenard del 1900 (i cui risultati vennero poi pubblicati nel 1902(3)). Le sue osservazioni furono stupefacenti: l'energia di uscita degli elettroni non dipendeva dall'intensità della luce incidente, ma dalla sua frequenza.
L'esperimento di Lenard è sostanzialmente costituito da due piastre metalliche, un catodo (C) e un anodo (A), poste una di fronte all'altra. Quando la radiazione elettromagnetica colpisce il catodo, questi emette degli elettroni che vanno a colpire l'anodo e permettendo così il passaggio di corrente nel circuito esterno collegato con il sistema catodo-anodo. Detta V la differenza di potenziale tra A e C, Lenard osservò che solo a partire da un certo valore, detto potenziale d'arresto, la corrente inizia a circolare, aumentando fino a raggiungere un valore massimo per poi rimanere costante. Il potenziale d'arresto è dato dall'equazione: \[\left ( \frac{1}{2} m_e v^2 \right )_{\text{max}} = e V_0\] dove $m_e$, v ed e sono rispettivamente massa, velocità e carica dell'elettrone emesso.
Ciò che Lenard, però, osservò e che ce lo fa ricordare fu un dato sorprendente: il potenziale d'arresto non dipendeva dall'intensità della luce incidente ma, come scritto, dalla sua frequenza. C'è da ricordare, in effetti, che per le conoscenze che si avevano a quel tempo, e come ho scritto in questa versione della voce wikipediana, il campo elettrico portato dalla radiazione avrebbe dovuto mettere in vibrazione gli elettroni dello strato superficiale fino a strapparli al metallo. Usciti, la loro energia cinetica sarebbe dovuta essere proporzionale all'intensità della luce incidente e non alla sua frequenza, come sembrava sperimentalmente.
Questo effetto, come ancora non poteva sapere Lenard, ma come successivamente mostrò Einstein(4), era dovuto alla nascente meccanica quantistica. Einstein, infatti, riuscì a fornire una spiegazione delle osservazioni di Lenard a partire da due lavori di Planck, uno del 1900(5) e uno del 1901(6), entrambi pubblicati sull'Annalen der Physic.
Lo spunto iniziale del lavoro di Einstein era la deduzione della impossibile catastrofe dell'ultravioletto: questo effetto catastrofico e devastante era una diretta conseguenza dello studio, tramite gli strumenti della meccanica newtoniana, della radiazione del corpo nero. Questa catastrofe, però, può essere rappresentata forse in modo più pittorico grazie al pianoforte dai tasti infiniti proposto da Gamow nei Trent'anni che sconvolsero la fisica(9):
La prima osservazione di questo effetto risale a un esperimento del 1887 di Heinrich Hertz, che ha pubblicato i risultati su Annalen der Physik(2). Il suo dispositivo era costituito da una bobina con uno spinterometro, in modo da osservare una scintilla per ogni onda elettromagnetica. Hertz pose il suo apparato in una camera oscura per vedere meglio le scintille, ma incredibilmente la massima lunghezza delle scintille prodotte era ridotta quando l'esperimento era condotto al buio. Inoltre Hertz pose un pannello di vetro tra la sorgente delle onde elettromagnetiche e lo strumento: questo pannello assorbiva la radiazione elettromagnetica che accompagnava gli elettroni nel loro salto nel buio e sostituendolo con il quarzo Hertz si aspettava che la scintilla sarebbe aumentata. Ebbene questo effetto non venne osservato, così Hertz concluse che il quarzo non aveva alcun potere di assorbimento delle radiazioni elettromagnetiche(1).
Dopo Hertz ci furono un po' di altri ricercatori che immediatamente cercarono di percorrere le orme di Hertz (tra questi anche l'italiano Augusto Righi), ma saltiamo tutti questi tentativi per andare immediatamente all'esperimento di Lenard del 1900 (i cui risultati vennero poi pubblicati nel 1902(3)). Le sue osservazioni furono stupefacenti: l'energia di uscita degli elettroni non dipendeva dall'intensità della luce incidente, ma dalla sua frequenza.
L'esperimento di Lenard è sostanzialmente costituito da due piastre metalliche, un catodo (C) e un anodo (A), poste una di fronte all'altra. Quando la radiazione elettromagnetica colpisce il catodo, questi emette degli elettroni che vanno a colpire l'anodo e permettendo così il passaggio di corrente nel circuito esterno collegato con il sistema catodo-anodo. Detta V la differenza di potenziale tra A e C, Lenard osservò che solo a partire da un certo valore, detto potenziale d'arresto, la corrente inizia a circolare, aumentando fino a raggiungere un valore massimo per poi rimanere costante. Il potenziale d'arresto è dato dall'equazione: \[\left ( \frac{1}{2} m_e v^2 \right )_{\text{max}} = e V_0\] dove $m_e$, v ed e sono rispettivamente massa, velocità e carica dell'elettrone emesso.
Ciò che Lenard, però, osservò e che ce lo fa ricordare fu un dato sorprendente: il potenziale d'arresto non dipendeva dall'intensità della luce incidente ma, come scritto, dalla sua frequenza. C'è da ricordare, in effetti, che per le conoscenze che si avevano a quel tempo, e come ho scritto in questa versione della voce wikipediana, il campo elettrico portato dalla radiazione avrebbe dovuto mettere in vibrazione gli elettroni dello strato superficiale fino a strapparli al metallo. Usciti, la loro energia cinetica sarebbe dovuta essere proporzionale all'intensità della luce incidente e non alla sua frequenza, come sembrava sperimentalmente.
Questo effetto, come ancora non poteva sapere Lenard, ma come successivamente mostrò Einstein(4), era dovuto alla nascente meccanica quantistica. Einstein, infatti, riuscì a fornire una spiegazione delle osservazioni di Lenard a partire da due lavori di Planck, uno del 1900(5) e uno del 1901(6), entrambi pubblicati sull'Annalen der Physic.
Lo spunto iniziale del lavoro di Einstein era la deduzione della impossibile catastrofe dell'ultravioletto: questo effetto catastrofico e devastante era una diretta conseguenza dello studio, tramite gli strumenti della meccanica newtoniana, della radiazione del corpo nero. Questa catastrofe, però, può essere rappresentata forse in modo più pittorico grazie al pianoforte dai tasti infiniti proposto da Gamow nei Trent'anni che sconvolsero la fisica(9):
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