Le grandi domande della vita: da Zermelo a Planck

Tra domande improbabili e argomenti seri in questa puntata scendiamo nelle fondamenta della matematica (ancora una volta!) e della fisica, partendo da...

La teoria degli insiemi

Nel 1908, Ernst Zermelo propose un primo insieme di assiomi per la teoria degli insiemi, ma, come scritto nel 1921 da Abraham Fraenkel in una lettera allo stesso Zermelo, questa prima proposta risultava incapace di mostrare l’esistenza di alcuni tipi di insiemi o l’esistenza dei numeri cardinali.
A partire dal lavoro di Zermelo, nel 1922 Fraenkel e, indipendentemente, Thoralf Skolem svilupparono un nuovo sistema costituito da 8 assiomi che, insieme con l’assioma della scelta, costituiscono i così detti assiomi di Zermelo-Fraenkel e la base per la teoria degli insiemi e per la matematica tutta.
Nonostante i teoremi di incompletezza di Kurt Godel, che mostrano come in questo sistema esistano delle affermazioni indecidibili (ovvero di cui non è possibile valutare la verità o la falsità), la teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel continua ad avere un’importanza essenziale nella matematica moderna, soprattutto per motivazioni storiche: tale sistema è in effetti la sintesi del lavoro di molti matematici e logici, tra cui non si può dimenticare Bertrand Russell, che accettarono la sfida di David Hilbert di risolvere l’ipotesi sull’infinito di Georg Cantor e di assiomatizzare in maniera completa la matematica. Questi sforzi, che alla fine portarono alla comprensione che non esisterà mai un sistema di assiomi che rende la matematica completa, continuarono comunque anche dopo l’accettazione della teoria ZFC, come ad esempio la teoria degli insiemi di Tarski–Grothendieck sviluppata da Alfred Tarski e Alexander Grothendieck⁽¹⁾.

Giro giro tondo

Una domanda mal posta nel campo della fisica è indubbiamente quella su quali sono gli elettroni che effettivamente si muovono nelle loro orbite. Tralasciando l’errore nella terminologia, questa è una domanda cui risulta impossibile rispondere sia dal punto di vista teorico sia da quello sperimentale. Il motivo è essenzialmente dovuto al principio di indeterminazione di Heisenberg, che ci impedisce di conoscere con la stessa precisione sia la posizione sia la quantità di moto dell’elettrone, senza dimenticare un fatto fondamentale per la meccanica quantistica che discende direttamente da tale principio: per poter misurare una qualsiasi grandezza fisica di una data particella, devo in qualche modo interagire con essa, perturbandola. Quindi non potrò mai sapere quali sono gli elettroni che realmente si muovono lungo gli orbitali, ma posso essere certo che lo fanno grazie ai risultati sperimentali che vengono spiegati dalla meccanica quantistica.

Risultati indefiniti

Quale è la soluzione dell’equazione 5$y$=5÷5×5÷5×5?
Questa è (o sembra essere) la solita espressione indefinita. Può essere interpretata (e dunque calcolata) in due modi differenti: \[5y = \frac{5}{5} \times \frac{5}{5} \times 5\] da cui $y=1$, oppure come \[5y = \frac{5}{5 \times 5} \frac{1}{5 \times 5}\] da cui $y=\frac{1}{625}$.
Come però molti fanno notare su Quora, seguendo le regole delle operazioni⁽²⁾, la soluzione corretta dovrebbe essere $y=1$, ma, come fa giustamente notare Howard Ludwig, l’espressione è mal formata proprio a causa del mancato utilizzo delle parentesi e, soprattutto, dell’uso del simbolo di divisione ÷ in luogo di quello ormai standard della frazione.

La lunghezza di Planck

Una dele grandezze fisiche su cui si trovano un po’ di domande, tutte più o meno uguali, è la lunghezza di Planck: è veramente la lunghezza più piccola? E quale è il suo significato fisico? E come la si può spiegare a un profano?
La lunghezza di Planck è l’unità fondamentale nel sistema delle unità (naturali) sviluppato da Max Planck. Essa è definita a partire dalle tre costanti fondamentali dell’universo, la velocità della luce $c$, la costante di Planck $h$ (nella formula viene utilizzata la costante ridotta $\hbar$) e la costante di gravitazione universale $G$: \[\ell_\mathrm{P} =\sqrt\frac{\hbar G}{c^3} \approx 1.616;229 (38) \times 10^{-35} \mathrm{m}\] Tale lunghezza è così piccola che un protone è 100 milioni di trilioni di volte più grande di $\ell_\mathrm{P}$ e riveste una qual certa importanza nel calcolo dell’entropia di un buco nero⁽³⁾ e nel principio di indeterminazione generalizzato⁽⁴⁾ (generalized uncertainty principle, GUP), che sorge come variazione all’interno della teoria delle stringhe dell’algebra degli operatori usuali di posizione e quantità di moto. Una conseguenza del GUP è che lo spazio può essere quantizzato e che la lunghezza di Planck è la più piccola possibile.
A una simile conclusione era già arrivato nel 1964 C. Alden Mead⁽⁵⁾, che mostrò come, data l’attuale conoscenza della meccanica quantistica e della gravitazione, non è possibile misurare alcuna lunghezza inferiore a quella di Planck.

Gli ever green

I migliori matematici e fisici nascono con il genio dell’intuizione? L’unico commento che mi sento di fare sullo specifico argomento è che, indipendentemente dall’esistenza di matematic e fisici geniali, tutti coloro che intraprendono questa strada sono in qualche modo addestrati alla genialità. Poi, ognuno, la sfrutta in modi differenti.

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1. Trybulec, Andrzej. "Tarski Grothendieck set theory" Journal of Formalized Mathematics 1 (1989). ↩
2. Priorità alle operazioni con le parentesi, quindi alle potenze, poi alle moltiplicazioni e alle divisioni (da sinistra a destra) e alle addizioni e sottrazioni (da sinistra a destra). ↩
3. Bekenstein, J. (2008). Bekenstein-Hawking entropy Scholarpedia, 3 (10) DOI: 10.4249/scholarpedia.7375 ↩
4. Ahmed Farag Ali, Saurya Das, & Elias C. Vagenas (2012). The Generalized Uncertainty Principle and Quantum Gravity Phenomenology The Twelfth Marcel Grossmann Meeting, 2407-2409 DOI: 10.1142/9789814374552_0492 (arXiv) ↩
5. Mead, C. (1964). Possible Connection Between Gravitation and Fundamental Length Physical Review, 135 (3B) DOI: 10.1103/PhysRev.135.B849 (sci-hub) ↩