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venerdì 21 aprile 2017

Le grandi domande della vita: Heisenberg

Dopo una lunga attesa ritornano Le grandi domande della vita. In questa puntata la parte del leone la fa il principio di indeterminazione di Heisenberg. Non mancherà la teoria dei numeri e un paio di curiosità che spero possano interessarvi!
Indeterminazione

da I trent'anni che sconvolsero la fisica di George Gamow
La domanda sulla correttezza o meno del principio di indeterminazione di Heisenberg per i fisici risulta assurda: il principio di indeterminazione è corretto. Ed è anche uno degli elementi fondamentali della meccanica quantistica: l'algebra dei commutatori, infatti, implica l'esistenza di principi di indeterminazione per ogni coppia di operatori che non commutano.
In questo caso gli operatori sono gli oggetti matematici utilizzati per rappresentare le grandezze fisiche. A differenza dei numeri usuali, per gli operatori la proprietà di commutazione, ovvero $a \cdot b = b \cdot a$, non vale in generale. Quindi quando due operatori non commutano, è possibile scrivere un principio di indeterminazione, che dal punto di vista della fisica implica che esiste un limite nella precisione con cui si possono eseguire misure contemporanee delle due grandezze.
Nel caso del principio di indeterminazione classico introdotto nel 1927 da Werner Heisenberg(1) questo implica che se vogliamo misurare la posizione di una data particella con la stessa precisione con cui misuriamo la quantità di moto, le due misure devono avvenire in momenti differenti.
In realtà questo fatto non dovrebbe essere nemmeno così stupefacente: le due grandezze sono correlate e l'errore sulla posizione può essere ricavato a partire dall'errore sulla quantità di moto e viceversa; d’altra parte è molto più semplice, classicamente parlando, una misura diretta della posizione rispetto a una della quantità di moto, che è una grandezza derivata della prima(2). Quindi l'errore sulla posizione influenza quello sulla quantità di moto.
Eppure l'interesse verso l'esistenza di eventuali violazioni del principio di Heisenberg ha spinto nel 2003 Masanao Ozawa(3) a proporre una riformulazione del principio di indeterminazione originale che implicava anche una sua violazione.
Questa idea divenne famosa nel 2012 quando due gruppi, di cui uno vedeva la partecipazione dello stesso Ozawa(4), proposero degli esperimenti che avrebbero dovuto verificare e validare le idee del fisico nipponico(5). Al di là dell'interesse della stampa più o meno specializzata nei confronti delle proposte sperimentali, è interessante osservare come, relativamente al primo articolo(4), giunsero le obiezioni di Yoshimasa Kurihara, squisitamente di ordine sperimentale. A mio giudizio è, però, importante sottolineare come non è il principio di indeterminazione di Heisenberg a essere messo in discussione e, tecnicamente, non si potrebbe nemmeno parlare di una sua violazione, nel caso, per il semplice fatto che si sta ragionando sulla sostituzione degli operatori classici della posizione e della quantità di moto con altri che presentano un valore per la parentesi di commutazione differente e quindi un differente valore per il principio di indeterminazione corrispondente.
Ad ogni buon conto, per chiunque voglia giocare con il what if... sul principio di indeterminazione di Heisenberg, consiglio la lettura di Waldo di Robert Heinlein.
Googolplex
Nel 1920 il nipote di nove anni di Edward Kasner, Milton Sirotta, coniò il termine googol in relazione al numero $10^{100}$. Da questo Kasner definì il googolplex come $10^{10^{100}}$. Ora la domanda è se $(256^3)^{1440 \times 2560}$ è più grande del googolplex. La risposta è: no! \[(256^3)^{1440\times 2560}=256^{3\times 1440\times 2560}<2^{10^8}\]
Comprimere l'acqua
Cosa succede se si comprime l’acqua? La risposta sta nel diagramma di fase

Diagramma difase dell'acqua con scala semilogritmica
Alla base della teoria dei numeri
Chiedersi quali sono i componenti basilari della teoria dei numeri è una dimanda particolarmente rischiosa. In effetti la prima cosa da chiarirsi è il senso di quel componenti basilari. Se il senso che diamo è quali sono gli elementi necessari per conprendere la teoria dei numeri a un livello superficiale, è ovvio che risulteranno necessari e sufficienti i numeri con le loro quattro operazioni(6).
Se invece siete interessati alle fondamenta stesse della teoria dei numeri, allora il vostro compito sarà indubbiamente più arduo e avrete la necessità di un ulteriore strumento: la logica. In questo caso aspettatevi di dover scrivere 300 pagine semplicemente per arrivare alla dimostrazione che $1+1=2$. E' questo uno dei risultati ottenuti da Bertrand Russell e Alfred North Whitehead sui Principia Mathematica, giungendo alla proposizione 54.43, quella che stabilisce la somma tra due numeri uno:
>
Da questa proposizione, quando la somma ritmetica è stata definita, segue che $1+1=2$
D'altra parte avevamo già visto come la definizione di numeri primi si possa grandemente complicare quando ci si chiede se nella frase $n$ è un numero primo ognuna delle parole utilizzate è ulteriormente definibile(7). Alla fine si giunge alla seguente definizione:
Gli ever green
Per questa puntata ritrovata dopo lungo tempo mi sembra giusto proporvi un classico come gli oggetti archeologici più strani mai ritrovati, tra cui spiccano anche alcuni manufatti astro-matematici!
  1. Heisenberg, Werner. "Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik." Zeitschrift für Physik 43.3-4 (1927): 172-198. doi:10.1007/BF01397280 (sci-hub); (english translation) The actual content of quantum theoretical kinematics and mechanics (1983), via NASA Technical Reports Server
  2. Ricordo che la quantità di moto è il prodotto tra massa e velocità, e quest'ultima è la variazione della posizione nel tempo
  3. Ozawa, Masanao. "Universally valid reformulation of the Heisenberg uncertainty principle on noise and disturbance in measurement." Physical Review A 67.4 (2003): 042105. doi:10.1103/PhysRevA.67.042105 (arXiv)
  4. Erhart, Jacqueline, et al. "Experimental demonstration of a universally valid error-disturbance uncertainty relation in spin measurements." Nature Physics 8.3 (2012): 185-189. doi:10.1038/nphys2194 (arXiv)
  5. Rozema, Lee A., et al. “Violation of Heisenberg’s measurement-disturbance relationship by weak measurements.” Physical Review Letters 109.10 (2012): 100404. doi:10.1103/PhysRevLett.109.100404 (arXiv)
  6. A tal proposito vi consiglio la lettura di Più per meno diviso di Peppe Liberti, che magari prima o poi recensisco...
  7. Quine, W. V. (1964). The Foundations of Mathematics Scientific American, 211 (3), 112-127 DOI: 10.1038/scientificamerican0964-112 (sci-hub)

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