Matematica, lezione 47: Immagini

La prima cosa che vorrei sottolineare è il titolo del 47.mo volumetto della collana Matematica: Algoritmi e immagini. Nel corso del testo, però, non c'è un solo codice, ed è fondamentale chiarire quindi il concetto che il titolo non è "sbagliato". Iniziamo dalla parola, che deriva dalla latinizzazione del nome di al-Khwarizmi, matematico persiano del IX secolo, che è accreditato per essere uno dei primi (se non il primo) ad aver codificato il metodo dell'algoritmo. E veniamo alla sua definizione: un algoritmo è, di fatto, una sequenza di operazioni, o di istruzioni, che vengono eseguite per risolvere un problema. E quindi prescindono dalla presenza di un qualsiasi codice di programmazione così come lo intendiamo oggi.
L'associazione con le immagini, però, fa immediatamente pensare ai software, e quindi ai linguaggi di programmazione, ma come ben spiega Marta Lazzaretti, le tecniche di digitalizzazione delle immagini risalgono addirittura agli anni Venti del XX secolo, per cui il problema della compressione e della riconversione delle immagini attraverso opportune operazioni matematiche è sostanzialmente precedente all'introduzione dei linguaggi di programmazione propriamente detti.

Rappresentazione hamiltoniana

In fisica, per hamiltoniana si intende una particolare funzione (un operatore, tecnicamente) che rappresenta l'energia di un sistema. Può essere rappresentata anche graficamente: ad esempio qui sotto i punti di intersezione delle linee scure, le curve di fase, rappresentano i punti critici del sistema, ovvero quei punti dove l'equilibrio è instabile:

Immagine tratta da Metodi matematici della meccanica classica di Vladimir Arnol'd, Editori Riuniti, ottobre 1979.

Il teorema del ritorno di Poincaré

Prima di tutto il teorema di Liouville:

Il flusso nello spazio delle fasi, corrispondente alle equazioni di Hamilton, conserva il volume in questo spazio.⁽³⁾

Conseguenza è che un sistema hamiltoniano stabile non può essere asintoticamente stabile⁽³⁾
Il teorema del ritorno di Poincaré (anche detto della ricorrenza) quindi stabilisce che:

Sia $g$ una trasformazione continua, biunivoca, che conservi il volume, che porti una regione limitata $D$ dello spazio euclideo in sé: $gD = D$.
Allora in ogni intorno $U$ di un punto qualsiasi della regione $D$ esiste un punto $x \in U$ che ritorna in $U$, cioè $g^n x \in U$, per qualche $n > 0$.⁽³⁾

Questo particolare teorema scoperto dal famoso matematico francese apparve per la prima volta sul famoso articolo Sur le probléme des trois corps et les équations de la Dynamique⁽¹⁾ con cui Poincaré vinse il concorso indetto dal re Oscar II di Svezia, appassionato matematico, per la risoluzione di alcuni problemi di analisi.
A seguito del teorema, alcuni risultati apparentemente paradossali: il primo riguarda il moto di una pallina in una buca asimmetrica: per quanto questo sia ignoto, si può star certi che prima o poi essa tornerà nelle vicinanze del punto di partenza⁽³⁾:

Un altro risultato paradossale, che segue alla combinazione dei due teoremi di Liouville e Poincaré, e che è intuibile già a partire dalla pallina nella buca asimmetrica, è legato alla termodinamica: se apriamo un passaggio tra due camere, una completamente vuota e una completamente piena di un qualche gas, dopo un certo tempo le molecole del gas si raccoglieranno nuovamente tutte nella prima camera⁽³⁾.

La soluzione del paradosso sta nel fatto che questo "certo tempo" è maggiore della vita del sistema solare⁽³⁾.

Il pendolo adiabatico

In fisica, le grandezze che cambiano poco in seguito a una variazione lenta dei parametri⁽¹⁾ sono chiamate invarianti adiabatici. Un possibile invariante adiabatico è il pendolo. Per ottenerlo, così come per ottenere uno qualsiasi degli invarianti adiabatici, la persona, che cambia i parametri, non deve vedere in che stato si trova il sistema⁽¹⁾.

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(1) Vladimir Igorevic Arnold, Metodi matematici della meccanica classica, Editori Riuniti, ottobre 1979.
Traduzione di Roberto Bernieri e Brunello Tirozzi

I rompicapi di Alice: In equilibrio con stile

Nel 2005 il matematico russo Vladimir Arnold propose, nel libro Arnold's problems, una serie di problemi e rompicapi presi dai suoi seminari moscoviti. Tra questi Arnold proponeva l'esistenza di oggetti convessi omogenei con meno di quattro punti di equilibrio, a differenza di quel che si era tentati di credere osservando i vari esempi che si potevano portare a supporto dell'ipotesi almeno quattro punti di equilibrio^{(1, 2)}.
Questo genere di oggetti, detti mono-monostatici, in effetti esistono e una loro rappresentazione matematica è stata fornita da Gábor Domokos e Péter Várkonyi, che non hanno solo prodotto una sua rappresentazione matematica, per altro facendo costruire anche l'oggetto, chiamato gömböc (che in ungherese vuol dire come una sfera), ma hanno anche mostrato come, nel guscio della tartaruga, questa forma abbia già trovato delle valide applicazioni⁽³⁾.
In particolare i due autori mostrano come

la loro forma non è simile ad alcun tipico rappresentante di un'altra classe di equilibrio. [Essi] non sono né piatti né sottili; infatti sono i soli oggetti non-degeneri che hanno simultaneamente planarità e sottigliezza minime.⁽¹⁾

La loro approssimazione poliedrica sembra uno sforzo immane, visto che il numero minimo di facce di un poliedro mono-monostatico potrebbe essere decisamente molto grande. Inoltre sono forme molto fragili, come mostrato in uno studio statistico sui ciottoli⁽²⁾. Nonostante questo, proprio utilizzando il modello sviluppato per realizzare le forme con due equilibri ipotizzate da Arnold, i due ricercatori, utilizzando tre parametri (uno per la forma, uno la posizione delle piastre rispetto al carapace, un ultimo per determinare la rotondità della transizione carapace-piastre) sono riusciti a realizzare un buon modello matematico per il carapace delle tartarughe⁽³⁾, che coincide proprio con un solido mono-monostatico. Si possono, di seguito, notare un po' di esempi con strutture fornite da due e più punti di equilibrio di cui almeno uno instabile:

Strategie di raddrizzamento