I rompicapi di Alice: In equilibrio con stile

Nel 2005 il matematico russo Vladimir Arnold propose, nel libro Arnold's problems, una serie di problemi e rompicapi presi dai suoi seminari moscoviti. Tra questi Arnold proponeva l'esistenza di oggetti convessi omogenei con meno di quattro punti di equilibrio, a differenza di quel che si era tentati di credere osservando i vari esempi che si potevano portare a supporto dell'ipotesi almeno quattro punti di equilibrio^{(1, 2)}.
Questo genere di oggetti, detti mono-monostatici, in effetti esistono e una loro rappresentazione matematica è stata fornita da Gábor Domokos e Péter Várkonyi, che non hanno solo prodotto una sua rappresentazione matematica, per altro facendo costruire anche l'oggetto, chiamato gömböc (che in ungherese vuol dire come una sfera), ma hanno anche mostrato come, nel guscio della tartaruga, questa forma abbia già trovato delle valide applicazioni⁽³⁾.
In particolare i due autori mostrano come

la loro forma non è simile ad alcun tipico rappresentante di un'altra classe di equilibrio. [Essi] non sono né piatti né sottili; infatti sono i soli oggetti non-degeneri che hanno simultaneamente planarità e sottigliezza minime.⁽¹⁾

La loro approssimazione poliedrica sembra uno sforzo immane, visto che il numero minimo di facce di un poliedro mono-monostatico potrebbe essere decisamente molto grande. Inoltre sono forme molto fragili, come mostrato in uno studio statistico sui ciottoli⁽²⁾. Nonostante questo, proprio utilizzando il modello sviluppato per realizzare le forme con due equilibri ipotizzate da Arnold, i due ricercatori, utilizzando tre parametri (uno per la forma, uno la posizione delle piastre rispetto al carapace, un ultimo per determinare la rotondità della transizione carapace-piastre) sono riusciti a realizzare un buon modello matematico per il carapace delle tartarughe⁽³⁾, che coincide proprio con un solido mono-monostatico. Si possono, di seguito, notare un po' di esempi con strutture fornite da due e più punti di equilibrio di cui almeno uno instabile:

Strategie di raddrizzamento

Considerando quanto, secondo molti studiosi citati nel lavoro di Domokos e Várkonyi, questo genere di carapace è stato importante per tartarughe, scarafaggi e simili, si può anche concludere che, non solo le forme mono-monostatiche esistono, ma non sono semplicemente una curiosità matematica, ma una base utilizzata in natura per ottenere dei vantaggi evolutivi.
Il gömböc, alla fine, almeno intendendolo come la forma matematica precisa (non l'approssimazione che si trova in natura), è stato anche realizzato e in effetti alcuni dei gusci di tartarughe mostrano una incredibile somiglianza con l'oggetto matematico scoperto da Domokos e Várkonyi:

La storia del primo esemplare potete leggerla direttamente sul sito ufficiale, dove ci sono anche le foto in cui viene consegnato ad Arnold. Ulteriori approfondimenti li potete trovare sul plus magazine con un articolo di Marianne Freiberger o dalla viva penna di Domokos sul negozio ufficiale.
I più attenti tra i lettori, poi, avranno notato la coincidenza del post con la settimana del design a Milano: la scelta non è casuale, visto che, in fondo, il gömböc è un oggetto di design, e questo mi permette di poter parlare di un altro oggetto di design di tipo matematico, la sedia Detecma, commercializzata dalla Gufram e commissionata dall'azienda torinese al fisico Tullio Regge.

Regge, come racconta anche nella sua biografia (che spero presto di poter recensire), a un certo punto decise di giocare un po' con le forme matematiche con le quali aveva lavorato per una vita provando a realizzare dei veri e propri modelli di alcune delle forme più interessanti. Alcuni di questi esperimenti vennero visti dal titolare della Gufram, che chiese a Regge di realizzargli il progetto di una poltrona utilizzando proprio la matematica, visto che molti oggetti di design venivano (e molti continuano ancora) ad essere realizzati proprio utilizzando forme matematiche precise.
Regge, allora, optò per le ciclidi di Dupin, delle forme che, utilizzando i parametri opportuni, possono ottenere una forma non molto diversa da una poltrona:

Nel 1822, nel suo libro Applications de Geometrie, il matematico francese Charles Pierre Dupin mostrò una superficie particolare che aveva da poco scoperto: essa, pur non essendo sferica, era tale per cui tutte le sue linee di curvatura erano circolari. Chiamò questa superficie particolare ciclide.
Il primo a riprendere la ciclide di Dupin fu James Maxwell nel 1868

Maxwell era interessato a trovare due curve tali che la congruenza delle linee che intersecano le curve può essere tagliata ortogonalmente da una famiglia di superfici. Trovò che i ciclidi di Dupin erano tali superfici se le due curve sono coniche in piani perpendicolari, con i vertici di una che coincidono con i fuochi dell'altra.⁽⁴⁾

La prima definizione di ciclide, dovuta a Dupin, è:

Una ciclide è l'inviluppo di una sfera variabile che tocca tre sfere fissate in modo continuo.⁽⁴⁾

Questa definizione è stata successivamente adattata e rimodellata da Cayley e Maxwell. Ad esempio quest'ultimo propone:

La ciclide è una superficie le cui normali passano tutte attraverso due curve fisse⁽⁴⁾

Dal punto di vista analitico la definizione matematica che mi è sembrata più abbordabile è invece la forma parametrica nello spazio $xyz$ proposta da Imre Juhász e Ágoston Róth⁽⁵⁾, di cui però vi metto solo la rappresentazione geometrica (le equazioni potete leggerle nel pdf):

Ognuna delle tre ciclidi è realizzata a partire dalla variazione di alcuni parametri particolari, di cui tre, $a$, $b$, $c$, rispettano le condizioni $c^2 = a^2-b^2$ e $a \geq c$, mentre il quarto, $\mu$, determina la forma della ciclide. In particolare l'ultima ciclide, la terza a destra, che sembra non molto diversa da quella utilizzata da Regge per la Detecma, ha la caratteristica per cui $\mu > a$.
E' stato poi molto interessante scoprire che anche la ciclide può essere trovata in natura, in questo caso in alcune strutture cellulari, in particolare nei liposomi, scoperti nel 1961 da Alec Bangham. Sono delle strutture costituite da due strati di lipidi interessanti per il ruolo che giocano nel trasporto dei medicinali e questo è uno dei motivi per cui Lionel Garnier e Sebti Foufou hanno sviluppato un modello matematico per la loro forma proprio basandosi sulle ciclidi di Dupin (pdf per dettagli).
Infine, per i più curiosi, c'è la possibilità di generarla da sé utilizzando un codice opportuno per PoV-Ray.

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(1) VÁrkonyi P.L. & Domokos G. (2006). Mono-monostatic bodies, The Mathematical Intelligencer, 28 (4) 34-38. DOI: 10.1007/BF02984701 (pdf)
(2) Varkonyi P.L. & Domokos G. (2006). Static Equilibria of Rigid Bodies: Dice, Pebbles, and the Poincare-Hopf Theorem, Journal of Nonlinear Science, 16 (3) 255-281. DOI: 10.1007/s00332-005-0691-8 (pdf - ResearchGate)
(3) Domokos G. & Varkonyi P.L. (2008). Geometry and self-righting of turtles, Proceedings of the Royal Society B: Biological Sciences, 275 (1630) 11-17. DOI: 10.1098/rspb.2007.1188
(4) Chandru V., Dutta D. & Hoffmann C.M. (1989). On the geometry of Dupin cyclides, The Visual Computer, 5 (5) 277-290. DOI: 10.1007/BF01914786 (pdf)
(5) Juhász I. & Róth Á. (2010). Closed rational trigonometric curves and surfaces, Journal of Computational and Applied Mathematics, 234 (8) 2390-2404. DOI: 10.1016/j.cam.2010.03.009