Le grandi domande della vita: questioni di estrema gravità

Nell'edizione odierna la fisica la fa da padrone, con un leggero apporto della matematica, che però è presente tra gli evergreen.

La gravità del nostro amore

La curvatura delo spaziotempo, da Cosmicomic di Amedeo Balbi e Rossano Piccioni

Quando si ragiona intorno alla gravità e al fatto che essa sia una forza in grado di curvare lo spaziotempo, prima o poi viene la domanda: e perché non può farlo anche l'elettromagnetismo?
Da un lato abbiamo la solita solfa: quando avremo una teoria quantistica definitiva (perché verificata sperimentalmente) sulla gravità, potremo iniziare a dare una risposta alla domanda. Per ora dobbiamo accontentarci di una spiegazione un po' più semplicistica: a curvare lo spaziotempo non è la gravità in se ma gli oggetti che si trovano nello spaziotempo. Questa, però, non è la risposta che preferisco. Personalmente trovo più affascinante suppore che la gravità sia l'espressione fisica della struttura geometrica dello spaziotempo.
D'altra parte, come visto ne La fisica di Star Trek, esiste la teoria di Kaluza-Klein che unifica elettromagnetismo e gravità in un universo in cinque dimensioni. L'aspetto interesante di questa idea è che, sviluppata da Beil (sci-hub), anche la forza elettromagnetica è in grado di generare una curvatura!
Altre tesi teoriche simili sono dovute ad Apsel (sci-hub) e Rodrigues (sci-hub).
P.S.: il titolo di questa sezione è una variazione su un verso di una breve canzone dei TARM.

Numeri primi

Se $p$ è un numero primo e $p_1$ il precedente, allora $p_1 - \frac{p_1^2}{p}$ tende a un numero pari all'aumentare di $p$.
Utiliziamo l'idea proposta da David Rutter, ovvero porre $c = p - p_1$, con $c$ numero pari, poiché la differenza tra due numeri primi consecutivi è un numero pari (d'altra parte, escluso 2, tutti i numeri primi sono dispari, e quindi la differnza tra due numeri primi qualsiasi, escluso 2, è sempre un numero pari). In questo caso, in pochi calcoli, si ottiene \[c + \frac{c^2}{p}\] Per considerare vera l'affermazione di partenza, bisognerebbe anche mostrare che, al tendere di $p$ all'infinito, il rapporto tra $c^2$ e $p$ tende a zero. A questo punto basta ricordare che per $n$ molto grandi il teorema dei numeri primi stabilisce che \[p_n \approx n \log n\] Utilizzando tale approsimazione, il numero di Nepero visto come limite e wolframalpha per i calcoli, è semplice mostrare che il rapporto tra $c^2$ e $p$ tende a zero lasciandoci in mano un numero pari.

Uno strappo in città!

Una domanda non banale, che di solito non viene mai posta (dagli studneti, of course!) quando si inizia a parlare di cinematica nei corsi di fsica (sia quelli scolastici, sia quelli universitari) è se c'è una grandezza fisica che descrive un moto con accelerazione variabile nel tempo. E la risposta è che sì, questa grandezza esiste e si chiama strappo! \[\vec j (t) = \frac{\mathrm{d} \vec a(t)}{\mathrm{d}t}\] Lo strappo, poi, può essere ricondotto alla derivata terza della posizione (d'altra parte l'accelerazione è la derivata seconda!). Dal punto di vistamatemtico un sistema che arriva fino ala derivata erza della posizione presenta un comportamento caotico.

Il Sole in un granello di sabbia

Questa è veramente curiosa, ma per certi versi anche molto poetica: quale sarebbe la scala della via Lattea e dell'universo osservabile se il Sole fosse ridotto alle dimensioni di un granello di sabbia?
Ci sono, tra le risposte, vari calcoli e le differenze sembrano essere dovute al grado i approssimazione. Allora, per dirimere la questione, proviamo a utilizare l'Analogizer di Marc A. Donis: riducendo il Sole alle dimensioni della testa di uno spillo (l'unico oggetto comparabile con un granello di sabbia), otteniamo che il sistema solare occuperebbe uno spazio di circa 3.8 volte le dimensioni di un essere umano, mentre la via Lattea avrebbe quasi le dimensioni del Sole!

Gli evergreen

A voi scoprire quale sia la dimostrazione matematica più cool.