pi day -3 - Gira il fiume gira

Il Rio delle Amazzoni - via commons

Così come i fiordi, anche i fiumi presentano in qualche modo una misura frattale. Un modo superficiale per vederla dal punto di vista matematico è utilizzando una grandezza detta sinuosità, definita come il rapporto tra la lunghezza \(L\) del fiume tra due punti e la distanza in linea retta \(l\) tra questi due stessi punti: \[s = \frac{L}{l} \] Mentre \(l\) è sostanzialmente costante nel tempo, \(L\) può variare in funzione di diversi fattori naturali e artificiali. Prendendo in considerazione solo i fattori naturali, si scopre un fatto curioso. A scoprirlo è stato Hans-Henrik Stølum attraverso una serie di simulazioni. Il ricercatore, infatti, ha scoperto che la sinuosità aumenta quando le anse fluviali aumentano, effetto a sua volta causato dall'erosione delle sponde. Una diminuzione della sinuosità è invece causata da eventi detti di cut-off, come per esempio la formazione di un lago lungo il corso del fiume che ne diminuisce la portata.
Il valore della sinuosità, in queste simulazioni, oscilla quindi intorno a un valore medio, che, apparentemente curioso, vale \(\pi\). Il motivo di tale coincidenza è da ricercarsi nella geometria frattale planare.

Stølum, H. H. (1996). River meandering as a self-organization process. Science, 271(5256), 1710-1713. doi:10.1126/science.271.5256.1710

Il cammino di Levy

Dopo esserci occupati del cammino dell'elefante, passiamo a un altro cammino casuale, il cammino di Levy, introdotto nel 1982 da Benoît Mandelbrot e così chiamato per omaggiare il matematico francese Paul Lévy, che diede fondamentali contributi nella teoria delle probabilità. Il cammino è, in pratica, una funzione esponenziale rappresentata da una funzione del tipo:

Matematica, lezione 57: Meccanica analitica

E' stato un tuffo nel passato il volume Meccanica analitica di Paolo Caressa, precisamente fino ai tempi dell'università quando ho affrontato il tema della lagrangiana in un intero corso della laurea in fisica. In effetti quel corso, a differenza del volume di Caressa, si silungava anche con il "raccontare" l'hamiltoniana, che invece Caressa tratta in poche pagine giusto per completezza. In ogni caso il volume, ricco di formule, ha il pregio di mostrare un approccio alla meccanica decisamente più formale e, appunto, analitico rispetto alla meccanica newtoniana e dovuto essenzialmente a Joseph-Louis Lagrange, ovvero il fisico torinese Giuseppe Luigi Lagrangia che a un certo punto della sua vita scelse la Francia come patria.
A tal proposito ho trovato una bella coincidenza la sovrapposizione tra la lettura di Caressa e il mio breve soggiorno a Torino in occasione dell'inaugurazione della mostra Macchine del tempo, alla sua seconda tappa nel giro dell'Italia dopo la prima installazione a Roma. E tra l'altro è stato anche bello ripassare, un po' casualmente devo dire, di fronte alla sua statua, notando quel La patria pose (se non ricordo male il testo) che un po' mi ha fatto sorridere, visto che è stato naturalizzato francese!

Musica frattale

via XaoS.js

Riprendendo dalla nota della recensione de L'agenzia olistica di Douglas Adams, la musica frattale è una deviazione matematica della musica nei frattali. Di fatto ebbe un piccolo boom tra la fine dei Novanta del XX secolo e i primi anni del III millennio, epoca in cui circolavano nelle edicole riviste che si occupavano del web. D'altra parte, nonostante le connessioni lente (nonostante siti a loro volta relativamente semplici), la rete non era propriamente alla portata di tutti né così facilmente accessibile nel corso di una giornata, quindi queste riviste permettevano di avere una panoramica interessante che costituiva un primo punto di partenza per ricerche e approfondimenti. Ed è proprio su una di queste riviste che mi imbattei nella musica frattale e nel primo software di produzione musicale che ho provato, MusiNum di Lars Kindermann.
La musica che produceva, ma la cosa la si può dire anche di altri software anche odierni, non era esattamente (o sempre) gradevole, ma ovviamente aveva l'alto interesse di basarsi sulla matematica e soprattutto su un particolare tipo di frome geometriche, i frattali appunto.

Il nostro piccolo universo piatto

Ultimamente trovo che ci sia in giro una particolare enfasi nel tentativo di spiegare che l'universo è piatto, eppure, forse per il mio approccio da fisico teorico, la cosa non mi suona. In particolare è quell'è a darmi fastidio. Cerco di spiegarmi meglio.
Per valutare la curvatura di uno spazio, si traccia un triangolo e si misurano gli angoli interni. Se il valore è all'incirca pari a 180°, lo spazio è piatto; se è superiore a 180° gradi, lo spazio è tipo sfera; se inferiore a 180°, lo spazio è una specie di sella. Per valutare la curvatura di uno spazio abbiamo, però, bisogno di trovare dei triangoli sufficientemente grandi: se proviamo a tracciare un triangolo a terra, molto probabilmente sarà un triangolo piatto, ma se proviamo a tracciare un triangolo, dallo spazio, con gli estremi della Sicilia, avremo un triangolo sferico. Allo stesso modo per l'universo bisogna determinare un triangolo il più grande possibile. A questo punto si potrebbero prendere tre stelle e tracciare un triangolo: unica complicazione è scovare tre stelle che si trovano alla stessa epoca dall'istante in cui è iniziata l'espansione cosmica, e questa cosa non è esattamente facile da determinare. Questo costringe a esaminare un segnale diffuso che siamo certi provenga dallo stesso periodo nella timeline dell'universo: la radiazione cosmica di fondo.

I Rompicapi di Alice: Prendere il dragone per la coda

Un frattale è sostanzialmente una figura geometrica ripetuta a scale differenti. Questo vuol dire che una qualunque sua parte, una volta ingrandita, risulta identica al frattale stesso. I frattali più noti sono il frattale di Mandelbrot, dal matematico polacco Benoît Mandelbrot che li ha resi popolari nel suo libro Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension del 1975, e la curva di Koch, meglio nota come fiocco di neve di Koch, apparsa per la prima volta nel 1904 su Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire, articolo del matematico svedese Helge von Koch.
Proprio alla curva di Koch Martin Gardner dedicò una sezione della sua rubrica Mathematical games uscita sul numero di aprile del 1965 di Scientific American. E fu proprio Gardner a diffondere per la prima volta un'altro frattale piuttosto noto, anche se non come i primi due: la curva del dragone, o anche curva del drago o dragone di Heighway o dragone di Jurassic Park. Quest'ultimo nome deriva dal fatto che questa curva venne pubblicata sulle pagine dei titoli del romanzo Jurassic Park di Michael Crichton.
La storia della curva venne raccontata da Gardner in due articoli tra marzo e aprile del 1967 sempre su Scientific American.

I fisici e il dragone

Pubblicata sulla copertina di un opuscolo che William Harter preparò per un congresso sulla teoria dei gruppi presso il Lewis Research Center della NASA a Cleveland nell'estate del 1966, la curva del dargone venne in realtà scoperta dal suo collega della NASA, il fisico John Heighway e studiata in maggior dettaglio da Harter, Heighway e Bruce Banks.
In effetti la scoperta della curva è abbastanza originale e in linea con lo spirito della rubrica di Gardner: piegando un foglio! La curva del dragone, infatti, può essere ottenuta piegando un foglio più volte a metà sempre nella stessa direzione. Piegando il foglio una prima volta e aprendolo a 90° si ottiene un dragone del primo ordine. Richiudendo e piegando una seconda volta e poi riaprendo il foglio si ottiene una immagine speculare ma ridotta del primo contorno ottenendo un dragone del secondo ordine. E infine piegando una terza volta e riaprendo si ottiene un dragone del terzo ordine.

Una (sempre troppo) breve storia del pi greco

Mi sembrava giusto estrarre le "notizie pi greche" che ho disseminato all'interno del Carnevale #59 e dedicare loro un post apposito, come ho fatto su Doc Madhattan. A maggior ragione mi sembrava giusto perché in questo modo mi posso sentire più libero di inserire gli script di aggregazione (automatica su Mathblogging e manuale su Researchblogging). E quindi ecco il motivo di un post che, in parte, è un doppio di quanto già scritto sempre qui:

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Warped di Mike Cavna via Bamdad's Math Comics

Come sapete il $\pi$ è definito come il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e il suo diametro. Questo numero, che è trascendentale, visto che è impossibile ottenere contemporaneamente circonferenza e diametro interi, era, a quanto pare, noto fin dall'antichità. Ci sono, infatti, alcuni egittologi che ritengono che $\pi$, o forse $\tau = 2 \pi$ era loro noto, visto che il rapporto tra il perimetro e l'altezza della piramide di Giza, costruita tra il 2589 e 2566 a.C., è di 6.2857.
Non ci sono prove esplicite del fatto che, all'epoca, la matematica egiziana fosse venuta a conoscenza di un numero come il $\pi$, però, tra i 600 e i 1000 anni più tardi su una tavoletta babilonese viene geometricamente stabilito il primo valore di $\pi$: $25/8 = 3.1250$. Da documenti redatti più o meno nello stesso arco di tempo si deduce poi che anche gli egiziani erano arrivati al calcolo del valore di $\pi$, ottenendo $(16/9)^2 ≈ 3.1605$.
La matematica indiana, invece, sembra leggermente in ritardo, visto che nel 600 a.C. nelle Shulba Sutras, si calcola per $\pi$ un valore di $(9785/5568)^2 \simeq 3.088$, che verrà successivamente aggiornato nel 150 a.C. come $\sqrt{10} \simeq 3.1622$, che è un valore molto più vicino a quello calcolato dagli egiziani.
Un valore molto vicino a quello oggi noto è invece quello calcolato da Rabbi Nehemiah nel suo trattato geometrico Mishnat ha-Middot, dove, correggendo il valore presente in un passo della Bibbia che indicava in 3 il valore del $\pi$, trova $3 + 1/7 \simeq 3.14286$.
L'approssimazione però più stupefacente non solo per la precisione ma soprattutto per il metodo è quella proposta da Archimede, il matematico italo-greco che ideò il metodo dei poligoni per calcolare quella che per un millennio divenne nota semplicemente come la costante di Archimede. Il nostro, semplicemente, calcolò il perimetro dei poligoni inscritti e circoscritti a una circonferenza data, ottenendo così una stima inferiore e una superiore al valore della costante: \[223/71 < \pi < 22/7\] ovvero \[3.1408 < \pi < 3.1429\] E' evidente che questo metodo di calcolo è estremamente moderno e soprattutto suggerisce come Archimede fosse ben conscio della natura trascendentale della costante, che poteva essere conosciuta solo attraverso delle approssimazioni.
Oggi il pi greco è noto fino a 5 trilioni di cifre (se non ce la fate ad andare così lontano, c'è il primo milione sul sito del Pi Day) e se provate a digitare il simbolo di $\pi$ sulle moderne calcolatrici scientifiche, il valore che esse vi forniscono è, per le prime cifre decimali, 3.14159265...

La dottrina e l'invarianza di scala distopica

Lucca Comics&Games si avvicina e con essa anche la prima edizione di Lucca Comics&Science. Come nei tre precedenti fine settimana, anche per questo ecco una recensione pubblicata appositamente per avvicinarci all'evento. In questo caso la scienza non si trova all'interno del fumetto recensito ma viene utilizzata, in particolare la matematica e i concetti di frattali e invarianza di scala, per raccontare il fumetto stesso!
La recensione vi racconta di una serie di 4 volumi di cui il primo è uscito nel 2002 e l'ultimo nel 2010: una lunga attesa che è stata ripagata da quanto i due autori sono riusciti a realizzare.

Se la letteratura vive di pochi macroingredienti fondamentali, usati e riusati per la costruzione di racconti e romanzi, quando si scende nella struttura fine delle opere, si iniziano a notare quelle differenze che innanzitutto conducono alle distinzioni per genere e poi a una selezione per originalità della lingua, del soggetto, della trama, dell'uso della tecnica narrativa.
Uno dei generi che più si presta a una classificazione rigida è quello delle distopie, sottogenere di quella grande famiglia che è la fantascienza. Una distopia è, infatti, semplice da identificare: il romanzo che tu lettore stai leggendo, rappresenta un mondo del futuro (prossimo o remoto) dove ogni cosa è sotto il controllo di una specifica categoria o di una casta e la libertà personale è limitata da una serie di controlli, giustificati con la necessità di fare il bene dei cittadini o della comunità. Nella quasi totalità dei casi l'opposizione alla distopia è inutile e i ribelli vengono inevitabilmente o uccisi o riassorbiti.
Una struttura del genere è dunque l'invariante del nostro discorso, quella caratteristica che non cambia da distopia a distopia. Questo macro controllo civile, poi, si ritrova nel momento in cui l'autore inizia a descrivere la vita dei singoli cittadini: ognuno di loro, infatti, riprende quel controllo nel piccolo della sua vita, controllando di volta in volta se stesso, la sua famiglia, chi gli sta intorno. Se però confrontiamo due fiocchi di neve uno con l'altro, esistono delle lievi differenze all'interno delle loro strutture che rendono un fiocco differente da un altro. I fiocchi di neve sono uno degli esempi tipici di frattali in natura, ovvero di figure geometriche in cui una forma di base, ad esempio un triangolo, viene ripetuta sempre più piccola all'interno di una struttura più grande che ne possiede una forma non dissimile. Per cui spesso, affinché in una storia, sia essa distopica o meno, possa accadere qualcosa, è necessario costruire una struttura che al suo interno abbia delle altre piccole strutture apparentemente identiche nella geometria, ma leggermente differenti una dall'altra.