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venerdì 12 ottobre 2018

I Rompicapi di Alice: Prendere il dragone per la coda

Un frattale è sostanzialmente una figura geometrica ripetuta a scale differenti. Questo vuol dire che una qualunque sua parte, una volta ingrandita, risulta identica al frattale stesso. I frattali più noti sono il frattale di Mandelbrot, dal matematico polacco Benoît Mandelbrot che li ha resi popolari nel suo libro Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension del 1975, e la curva di Koch, meglio nota come fiocco di neve di Koch, apparsa per la prima volta nel 1904 su Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire, articolo del matematico svedese Helge von Koch.
Proprio alla curva di Koch Martin Gardner dedicò una sezione della sua rubrica Mathematical games uscita sul numero di aprile del 1965 di Scientific American. E fu proprio Gardner a diffondere per la prima volta un'altro frattale piuttosto noto, anche se non come i primi due: la curva del dragone, o anche curva del drago o dragone di Heighway o dragone di Jurassic Park. Quest'ultimo nome deriva dal fatto che questa curva venne pubblicata sulle pagine dei titoli del romanzo Jurassic Park di Michael Crichton.
La storia della curva venne raccontata da Gardner in due articoli tra marzo e aprile del 1967 sempre su Scientific American.
I fisici e il dragone
Pubblicata sulla copertina di un opuscolo che William Harter preparò per un congresso sulla teoria dei gruppi presso il Lewis Research Center della NASA a Cleveland nell'estate del 1966, la curva del dargone venne in realtà scoperta dal suo collega della NASA, il fisico John Heighway e studiata in maggior dettaglio da Harter, Heighway e Bruce Banks.
In effetti la scoperta della curva è abbastanza originale e in linea con lo spirito della rubrica di Gardner: piegando un foglio! La curva del dragone, infatti, può essere ottenuta piegando un foglio più volte a metà sempre nella stessa direzione. Piegando il foglio una prima volta e aprendolo a 90° si ottiene un dragone del primo ordine. Richiudendo e piegando una seconda volta e poi riaprendo il foglio si ottiene una immagine speculare ma ridotta del primo contorno ottenendo un dragone del secondo ordine. E infine piegando una terza volta e riaprendo si ottiene un dragone del terzo ordine.
Piegando ulteriormente (fino a che materialmente possibile) si ottengono i dragoni di ordine successivo, ma un matematico, così come un fisico teorico, non si accontenta di fermarsi ai limiti fisici e cerca di andare oltre. D'altra parte Harter affermò di aver utilizzato la curva del dragone per rappresentare il congresso di teoria dei gruppi, pur non essendoci alcuna connessione tra la curva e la disciplina, perché la curva rappresentava
la proliferazione della struttura criptica che si trova in questa disciplina.
Il nome, curva del dragone, venne scelto poiché lo sviluppo della curva ricordava il bordo di un dragone foglia della famiglia dei cavallucci marini.
Esistono altri due modi per ottenere la curva del dragone. Il primo, geometrico, venne scoperto da Banks. Si parte da un segmento di una data lunghezza e lo si "apre" fino a che non si ottiene un secondo segmento identico al primo ma a 90°. A questo punto si ruota la struttura di 45° a sinistra e si "apre" questa nuova figura sempre fino a che non si trova esattamente a 90° dalla prima. A questo punto si ruota la nuova struttura di 45° a destra e così via, alternando le rotazioni ora a sinistra ora a destra. Portando avanti per molti passi questo procedimento, come osserva lo stesso Gardner, si ottiene un vero e proprio frattale.
Un terzo metodo, che Gardner non accredita, utilizza il codice binario. Innanzitutto si associa all'1 una curva verso sinistra e allo 0 una curva verso destra. Il dragone di ordine 1 sarà identificato dal numero binario 1. Per ottenere il dragone di ordine 2 si fa la somma binaria dell'ordine 1 con se stesso e si aggiunge un 1, ovvero il dragone di ordine 1, a sinistra. Per il dragone di ordine 3 si fa la somma binaria dell'ordine 2 con se stesso e si aggiunge l'ordine 2 a sinistra e così via per gli ordini successivi.
Infine Harter ha scoperto vari modi in cui le curve del dragone possono essere incastrate una nell'altra per coprire il piano generando forme (o tassellazioni) incredibilmente simmetriche.
E questo è tutto per una delle più belle curve fantastiche della matematica!
Martin Gardner, 1967, 'Mathematical Games', Scientific American, vol. 216, no. 4, pp. 116-120 doi:10.1038/scientificamerican0467-116
Martin Gardner, 1965, 'Mathematical Games', Scientific American, vol. 212, no. 4, pp. 128-135 doi:10.1038/scientificamerican0465-128

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