I cinque cerchi incidenti

Il Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (JMPA) è una prestigiosa rivista scientifica francese specializzata in matematica e fondata nel 1836 da Joseph Liouville. Oltre a giocare un ruolo importante nella diffusione del lavoro di Évariste Galois, che pubblicò proprio sulla sua rivista nel 1846, il JMPA ha anche pubblicato nel 1838 un particolare teorema della geometria piana, il teorema di Miquel scoperto a quanto pare da un insegnante di scuola superiore francese, Auguste Miquel.
Il teorema, nella sua versione di base, parte da un triangolo qualsiasi di vertici $A$, $B$, $C$. Su ciascuno dei suoi tre lati o sulle loro estensioni si determinano tre punti $A'$, $B'$, $C'$ e si tracciano tre circonferenze passanti per uno dei vertici del triangolo e gli altri due punti con gli apici, quindi ad esempio per $A$, $B'$, $C'$. Il teorema stabilisce che le tre circonferenze si intersecano in un unico punto, detto punto di Miquel, $M$.
Il teorema può essere esteso anche al quadrilatero, al pentagono e a sei cerchi. Una versione particolare del teorema dei cinque cerchi di Miquel è stata scoperta, in un certo senso per caso, nel 2014 grazie a un programma di grafica.

Il teorema dei cinque cerchi incidenti

Si prendono cinque punti $A_1$, $\cdots$, $A_5$ tali che tre di essi non siano mai collineari (ovvero una qualunque retta passante per due di essi non passa per un terzo punto dell’insieme). Si tracciano le cinque rette passanti per i punti presi a coppie e si identificano i punti di intersezione delle rette come $B_1$, $\cdots$, $B_5$. Il punto generico $B_i$ è l’intersezione tra la retta passante per $A_i$ e $A_{i+2}$ e la retta $A_{i-1} \, A_{i+1}$. Ad esempio $B_1$ è l’intersezione tra $A_1A_3$ e $A_2A_5$.
A questo punto si tracciano cinque circonferenze passanti per due punti $A$ e uno dei punti $B$ secondo la regola $A_iB_iA_{i+1}$, quindi la circonferenza $\Gamma_1$ passerà per $A_1$, $B_1$ e $A_2$.
A questo punto detto $g_i$ l’asse radicale tra la circonferenza $\Gamma_{i-1}$ e $\Gamma_i$, i cinque assi radicali o si incontrano in un unico punto o sono paralleli.
Per quel che riguarda la dimostrazione, su cui non scendo nel dettaglio, hanno una particolare importanza i teoremi di Ceva, dal matematico italiano Giovanni Ceva, e di Menelao il cui legame tra loro è sancito da una dimostrazione comune realizzata da Stuart Anderson. Inoltre vale la pena ricordare che l’asse radicale è la retta passante per i punti di intersezione (o il punto di tangenza) tra due circonferenze incidenti. In effetti è possibile definire l’asse radicale anche per due circonferenze non incidenti, a patto che non siano concentriche.

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Per i più curiosi, qui sotto metto non solo l’articolo sui cinque cerchi incidenti, ma anche un articolo sulla dimostrazione dei cinque cerchi di Miquel:

Fisher, J. C., Hoehn, L., & Schröder, E. M. (2014). A 5-circle incidence theorem. Mathematics Magazine, 87(1), 44-49. doi:10.4169/math.mag.87.1.44 (jstor)
Li, H., Xu, R., & Zhang, N. (2005). On Miquel’s Five-Circle Theorem. In Computer Algebra and Geometric Algebra with Applications (pp. 217-228). Springer, Berlin, Heidelberg. doi:10.1007/11499251_18 (pdf)