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sabato 6 ottobre 2018

Vivere nell'ipercubo

La parte iniziale di questo breve articolo è tratta da "L'incredibile dimensione mesonica"

Illustrazione di Franco Brambilla
L'ideazione del concetto di universi paralleli viene attribuita allo scrittore statunitense Murray Leinster che nel 1934 vide pubblicato sulle pagine di Astounding Stories il racconto Sidewise in Time che ne faceva largo uso.
Prima del racconto di Leinster, però, l'idea di un mondo parallelo era stata in qualche modo già utilizzata in alcuni romanzi, di cui i più famosi sono indubbiamente Alice nel paese delle meraviglie (e il suo seguito Attraverso lo specchio) di Lewis Carroll e Flatlandia di Edwin Abbott. In particolare quest'ultimo, insieme con il racconto del 1933 I sogni della casa stregata di Howard Phillips Lovecraft e quello del 1940 La casa nuova di Robert Heinlein giocano con la geometria e l'incastro di spazi di dimensioni differenti uno nell'altro.
Come ha rilevato la teoria della relatività di Albert Einstein, il nostro universo è costituito da quattro dimensioni, le tre spaziali più il tempo. Mentre per Lovecraft questa diventa una sorta di fonte di orrori, a causa dell'innaturalezza della geometria quadridimensionale, Heinlein sfrutta con il concetto dell'ipercubo o tesseratto per realizzare un divertente racconto di stampo umoristico e matematicamente esatto.
Un tesseratto è l'equivalente quadridimensionale di un cubo. Le sue facce sono 8 cubi tridimensionali, che nel racconto di Heinlein, pubblicato nel 1941 su Astounding Science Fiction, diventano le 8 stanze della casa costruita dall'architetto Quintus Teal come un tesseratto dispiegato. Durante la visita all'immobile, sia l'architetto sia gli aspiranti acquirenti si trovano leggermente spaesati (ed è un eufemismo) nell'esplorare gli ambienti della casa. Tale difficoltà aumenterà quando il tesseratto si ripiega su se stesso a causa di una scossa di terremoto nella vicina faglia di Sant'Andrea.

Il dispiegamento di un tesseratto
Lo spaesamento degli esploratori della casa, però, è più che naturale, considerando la nostra obiettiva difficoltà nel visualizzare forme geometriche appartenenti a una dimensione superiore. Per avere una prima idea della difficoltà di visualizzare un tesseratto (e qualunque altra forma geometrica di dimensione identica o superiore) basti pensare a quanto difficile sia visualizzare il modo più semplice per generarlo.
Prendiamo un segmento di una lunghezza data. Per costruire un quadrato basta copiarlo per tre volte, ogni volta a novanta gradi rispetto alla precedente, avendo cura di operare la rotazione ogni volta nello stesso verso (orario o antiorario non ha importanza). A questo punto per generare un cubo basta proiettare perpendicolarmente al piano il quadrato per una distanza pari alla lunghezza del lato del quadrato. E allo stesso modo per generare un ipercubo basta proiettare perpendicolarmente al nostro spazio tridimensionale il cubo lungo la quarta dimensione. Ci siete riusciti? Immagino di no: il meglio che riusciremmo a fare è proprio la visualizzazione del dispiegamento del tesseratto, che assomiglia molto al dispiegamento di un cubo (o di un dado!), ma con dei cubi al posto dei quadrati.
Un'altro modo per avere un'idea di come potrebbe essere un tesseratto visto dall'interno è la splendida scena in Interstellar, lo splendido film di fantascienza del 2014 di Christopher Nolan, in cui Joseph Cooper entra in un buco nero, il cui interno si rivela essere proprio un tesseratto!
Tornando alla matematica, un altro modo per visualizzare il tesseratto e gli altri ipercubi è attraverso la proiezione ortogonale dei sui vertici (16 nel caso del tesseratto). Interessante come, andando avanti con le dimensioni, queste proiezioni diventano sempre più dense di punti e quindi più complesse e simili, anche per gradevolezza, ai diagrammi o grafi di Cayley di alcuni dei gruppi più complessi come il gruppo E8.

Un otteratto

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