L'universo in fiore

Sbirciare l'infinito fa aumentare lo spazio, il respiro, la testa, di chi lo sta a osservare.
Erri De Luca

La bellezza dell'universo e dello spazio infinito si rendono manifeste ad esempio in un cielo stellato, che è poi solo una porzione di quell'infinito citato da Erri De Luca, ma anche in quei dettagli matematici che dovrebbero descriverlo e che possono anche essere rappresentati in maniera grafica come nel primo fiore, quello qui sopra, tratto da An exceptionally simple theory of everything⁽¹⁾ di Garrett Lisi. Questa prima rete è in realtà la struttura del gruppo F4, un particolare gruppo appartenente alla classe dei gruppi di Lie.
I gruppi di Lie sono molto importanti in fisica, poiché praticamente tutti i gruppi di simmetria dei sistemi fisici sono gruppi di Lie. Dal punto di vista matematico il gruppo di Lie non è molto complicato da spiegare: in pratica è un gruppo le cui applicazioni, nessuna esclusa, sono analitiche, ovvero funzioni che possono essere espresse come una serie di potenze convergente (funzioni continue, per essere ancora più semplici!).
Un esempio di gruppo di Lie è il gruppo di Galileo, dal cui studio usando gli strumenti della teoria dei gruppi è possibile ricavare una serie di informazioni sulla particella libera, quella rappresentata dall'equazione di Schroedinger per intenderci⁽²⁾.

Un altro gruppo di Lie molto importante per la fisica, e non solo per la teoria delle stringhe, è il gruppo E8, il gruppo di simmetria con l'ordine più grande mai scoperto. L'immagine qui sopra, così come le altre tre che seguono sono mappe che tracciano la struttura del gruppo e sono tratte dal già citato articolo di Lisi.
Il gruppo venne scoperto nel 1887 da Wilhelm Killing e classificato come eccezionale, ma una sua rappresentazione utile per lavorarci su è stata trovata dal team Atlas of Lie groups and representations 120 anni più tardi, nel 2007. L'annuncio ebbe, per quel che ricordo, un certo risalto sui mass media di tutto il mondo e venne ufficialmente affidato (nel senso che lo presentò a una conferenza matematica) a David Vogan, matematico del MIT presso il quale ha conseguito il dottorato nel 1976. Tra i fatti curiosi, oltre ad avere un nerd score di 92, David ha anche una fan page su Facebook che al momento in cui scrivo piace appena a 4 persone: lettori facebookiani perché non iniziate a diventare segugi della sua pagina? Ad ogni modo, tornando alle cose serie, l'esposizione dei calcoli che il gruppo Atlas ha realizzato per arrivare a questo storico risultato è poi stata pubblicata su Notices Amer. Math. Soc. 54 (2007), no. 9, 1122-1134 (versione pdf - vedi anche la presentazione in pdf).

Le immagini che vedete possono certo essere considerate come una sorta di rappresentazione del gruppo E8, ma non hanno una vera utilità matematica, al di là di una intrinseca bellezza dovuta alla loro simmetria. Sembrano, in effetti, dei fiori, e questo giustifica solo metà del titolo del post, ma d'altra parte una rappresentazione come la intendono i matematici e i teorici dei gruppi è un'operazione che associa a ciascun elemento del gruppo un operatore, o per semplicità una matrice che opera nello spazio nel quale ci interessa svolgere i calcoli.
Questa rappresentazione, di tipo matriciale, è stata realizzata utilizzando il computer dal gruppo Atlas of Lie groups and representations, nato nel 2002 da un'idea di Jeffrey Adams, che ha descritto il progetto in due preprint^{(3, 4)}. Con il primo⁽³⁾ vengono poste le basi matematiche del procedimento, passando attraverso opportune definizioni e la dimostrazione dei teoremi necessari per determinare le rappresentazioni dei gruppi cui Adams e compagni sono interessati. Il procedimento è sostanzialmente uno standard: punto fondamentale è la possibilità di trattare i gruppi come degli spazi vettoriali e sfruttare poi le possibilità offerte da alcune particolari funzioni, come isomorfismi, automorfismi, olomorfismi⁽⁵⁾ che consentono di passare da uno spazio vettoriale a un altro. Ognuno di questi spazi vettoriali, che possono a loro volta essere trattati come gruppi, ha delle proprietà che consentono uno studio semplificato delle corrispondenti proprietà del gruppo cui siamo interessati. La parte formale, dunque, ad ogni modo importantissima per dare una base solida al discorso nel suo complesso, serve come traccia per la parte computazionale descritta nel secondo preprint⁽⁴⁾.
In questo secondo lavoro, Adams descrive le istruzioni del loro software, a quanto sembra sviluppato sotto Unix, mentre il prodotto finale è in grado di girare sotto tutti i sistemi operativi, incluso Solaris.

Dopo tutto questo lavoro, durato cinque anni, il gruppo di Adams e Vogan è riuscito nell'impresa di rappresentare E8, quello che secondo Lisi è il gruppo di simmetria su cui si dovrebbe basare la teoria del tutto. Non mi interessava, però, in questa sede parlare nel dettaglio del lavoro in questione, ma semplicemente, utilizzando le immagini delle mappe di E8, raccontarvi di una bella iniziativa dell'Osservatorio di Brera, L'universo in fiore, un corso di astronomia aperto a tutti, le cui iscrizioni sono state aperte il 5 settembre, con un numero minimo di iscritti di 15 e un massimo di 40. Il corso, costituito da 11 lezioni (con visita guidata conclusiva) che inizieranno il 26 ottobre (orario 17-18:30), verrà tenuto dai ricercatori dell'Osservatorio ed è ovviamente rivolto a un pubblico di non specialisti.
E' una bella iniziativa, un modo diverso per avvicinare le persone alla bellezza dell'universo e al lavoro dei ricercatori, ma anche per seguire il consiglio di Erri De Luca, la frase simbolo di tutto il corso: per cui, anche se non vi è piaciuto questo post (che obiettivamente mi è sfuggito di mano), almeno fatemi un favore, non esitate a pubblicizzare L'universo in fiore sia se siete di Milano, sia se non lo siete: bisogna raccontarle le belle iniziative che, nonostante tutto, in Italia si propongono.

La chiusura, però, la lascio allo stesso Garrett Lisi con questa TED lesson, presa dal post di Corrado, grazie al quale ho scoperto il lavoro di Lisi su E8:

(1) Si è meritato anche una omonima pagina wiki questo controverso preprint. Altri link sul lavoro di Lisi sono l'omonimo blog Exceptionally simple theory of everything e un esame, con raccolta di link finale, targato Peter Woit.
(2) Un riassunto, per ora solo in inglese, potete trovarlo su Doc Madhattan.
(3) Jeffrey Adams, & Fokko du Cloux (2008). Algorithms for Representation Theory of Real Reductive Groups. Arxiv. arXiv: 0807.3093v1
(4) Jeffrey Adams (2008). Guide to the Atlas Software: Computational Representation Theory of Real Reductive Groups. Arxiv. arXiv: 0807.3095v1
(5) Per isomorfismo si intende una funzione che associa uno spazio a un altro lasciando invariata la moltiplicazione. Un'automorfismo è un isomorfismo in cui lo spazio di partenza e quello di arrivo sono identici. Un olomorfismo è, infine, una qualunque funzione complessa differenziabile, ovvero derivabile in ogni suo punto.