Le grandi domande della vita: Su Einstein e Hilbert

Per il solito strano caso della vita, qualche giorno più dopo aver pubblicato la puntata dedicata al rapporto tra fisici e matematici (argomento che, comunque, non potrebbe esaurirsi completamente in quelle poche righe), mi ritrovo a rispondere a una domanda sul rapporto tra David Hilbert e Albert Einstein, in particolare sulla leggendaria scarsa considerazione che il primo aveva del secondo, almeno al livello della matematica.
Prima, però, di affrontare questo mito, permettetemi di sfatare un altro mito, quello legato alle competenze matematiche scolastiche del buon Einstein.

La pagella di Einstein

Tale mito è molto probabilmente originato da una lettura distratta della sua pagella:

Ritratti: Felix Klein

Nel corso della sua carriera matematica, Sophus Lie ha conosciuto vari matematici validi. In particolare ebbe dei rapporti particolarmente stretti con Friedrich Engel e Felix Klein, matematici tedeschi con i quali ruppe però i rapporti intorno al 1889, anno durante il quale ebbe una non meglio specificata malattia mentale. Eppure molti storici della matematica suggeriscono che tale taglio dei rapporti era dovuto al così detto programma di Erlagen di Klein.

La geometria che cambia

Felix Klein - via commons

Klein è famoso per due risultati, uno di stampo popolare, la famosa bottiglia di Klein, l'altro nel campo della geometria. In particolare le sue principali scoperte in questo campo risalgono al 1871, durante il suo periodo in cui era a Gottinga (Göttingen). Pubblicò due articoli, che mostravano come le geometrie euclidee e non euclidee potevano essere considerate come spazi metrici determinati dalla loro particolare metrica. Una consegenza del lavoro di Klein era che la consistenza della geometria non euclidea era tale se e solo se anche la geometria euclidea fosse consistente.
In sintesi il programma di Erlangen intendeva la geometria come lo studio delle proprietà dello spazio e delle sue invarianti sotto l'azione di un gruppo di trasformazioni. Il suo inizio ufficiale è datato 1872, quando Klein divenne professore presso Erlagen, durante il quale il matematico proponeva la realizzazione di un sistema unitario della geometria che utilizza i gruppi di trasformazione per studiare e rappresentare le proprietà invarianti di cui sopra.
Fu, probabilmente, proprio il ruolo fondamentale di Lie nella nascita e nello sviluppo del programma di Erlagen a rovinare i rapporti tra Klein e Lie: i due matematici, insieme, scoprirono le proprietà fondamentali in alcune superfici particolari ⁽¹⁾. Inoltre fu proprio Lie a introdurre Klein alla teoria dei gruppi tanto quanto il francese Camille Jordan⁽³⁾.

Le grandi domande della vita: Il capello di Hilbert

David Hilbert secondo Tuono Petinato

Matematica protagonista per questa nuova puntata della serie più pretenziosa del web! Si inizia con la matematica delle equaioni diofantee, in particolare sulle differenze tra due problemi, uno particolarmente noto e uno meno, ma entrambi, oggi, risolti (o qualcosa del genere!):

Le differenze tra il 10.mo problema di Hilbert e il teorema di Fermat

Ovviamente per teorema di Fermat si intende quello, ormai venutovi a noia, scritto sui margini di un foglio del volume di Diofanto dall'ineffabile Pierre de Fermat. Il teorema, ripetendolo alla noia, afferma che non esiste alcuna soluzione dell'equazione diofantea: \[a^n + b^n = c^n\] per $n$ più grandi di 2.
Quando Hilbert propose la sua lista di 23 problemi nel grande congresso di matematici tenutosi a Parigi nel 1900, il decimo problema recitava, più o meno, così:

Data un'equazione diofantea con un numero ignoto di quantità e con coeffienti numerici razionali: ideare un procedimento secondo cui è possibile determinare in un numero finito di operazioni se l'equazione è risolubile negli interi razionali.

Il programma di Hilbert a fumetti

Dopo una lunga attesa sono finalmente riuscito a concludere la recensione di Enigma. La strana vita di Alan Turing di Francesca Riccioni e Tuono Pettinato (su DropSea la bozza), che ha avuto anche una appendice matematica corredata dalle pagine tratte dal romanzo a fumetti.
L'appendice, dopo una breve introduzione, riparte dalla pagina riassuntiva del famoso programma di Hilbert sulla sistematizzazione della matematica basato sul seminario che lo stesso tenne l'8 agosto del 1900 al Congresso internazionale dei matematici tenutosi alla Sorbona di Parigi. E' da questo discorso che nascono i famosi 23 problemi, di cui solo i più urgenti vennero citati dal matematico tedesco in quell'occasione.

Senza scendere troppo nel dettaglio dei problemi, vi propongo l'inizio di quel famoso discorso, un passaggio che riassume perfettamente lo spirito non solo della matematica, ma di tutta la scienza in generale: