Ritratti: Felix Klein

Nel corso della sua carriera matematica, Sophus Lie ha conosciuto vari matematici validi. In particolare ebbe dei rapporti particolarmente stretti con Friedrich Engel e Felix Klein, matematici tedeschi con i quali ruppe però i rapporti intorno al 1889, anno durante il quale ebbe una non meglio specificata malattia mentale. Eppure molti storici della matematica suggeriscono che tale taglio dei rapporti era dovuto al così detto programma di Erlagen di Klein.

La geometria che cambia

Felix Klein - via commons

Klein è famoso per due risultati, uno di stampo popolare, la famosa bottiglia di Klein, l'altro nel campo della geometria. In particolare le sue principali scoperte in questo campo risalgono al 1871, durante il suo periodo in cui era a Gottinga (Göttingen). Pubblicò due articoli, che mostravano come le geometrie euclidee e non euclidee potevano essere considerate come spazi metrici determinati dalla loro particolare metrica. Una consegenza del lavoro di Klein era che la consistenza della geometria non euclidea era tale se e solo se anche la geometria euclidea fosse consistente.
In sintesi il programma di Erlangen intendeva la geometria come lo studio delle proprietà dello spazio e delle sue invarianti sotto l'azione di un gruppo di trasformazioni. Il suo inizio ufficiale è datato 1872, quando Klein divenne professore presso Erlagen, durante il quale il matematico proponeva la realizzazione di un sistema unitario della geometria che utilizza i gruppi di trasformazione per studiare e rappresentare le proprietà invarianti di cui sopra.
Fu, probabilmente, proprio il ruolo fondamentale di Lie nella nascita e nello sviluppo del programma di Erlagen a rovinare i rapporti tra Klein e Lie: i due matematici, insieme, scoprirono le proprietà fondamentali in alcune superfici particolari ⁽¹⁾. Inoltre fu proprio Lie a introdurre Klein alla teoria dei gruppi tanto quanto il francese Camille Jordan⁽³⁾.

Ritratti: Sophus Lie

Sophus Lie - via commons

La teoria dei gruppi è stata in pratica fondata da quelli che amo definire i matematici romantici, Evariste Galois e Niels Abel, però non tutti i gruppisti sono romantici, o quanto meno non nel senso dei due fondatori. Ad esempio non c'è alcuna morte per duello o per povertà nella biografia di Sophus Lie, matematico norvegese, proprio come Abel, è altra figura fondamentale nel panorama della teoria dei gruppi.
Nato il 17 dicembre del 1842 (quindi sono puntualmente in ritardo per raccontarvi le solite quattro cose!) iniziò ufficialmente la sua carriera matematica nel 1869 quando venne pubblicato il suo primo lavoro matematico, Repräsentation der Imaginären der Plangeometrie (più o meno rappresentazione degli immaginari in geometria piana) sulla rivista Journal für die reine und angewandte Mathematik. L'uscita dell'articolo gli permise di ottenere una borsa di studio che gli consentì di andare a Berlino, dove rimase dal settembre di quello stesso anno fino al febbraio dell'anno successivo.
Il suo interesse verso la matematica, però, era stato puramente incidentale: il suo desiderio era, infatti, intraprendere una carriera militare, che gli era preclusa a causa dei suoi problemi di vista. Fu così che si iscrisse all'Università di Christiania, la moderna Oslo, dove seguì vari corsi scientifici. Tra questi c'erano in particolare il corso di Ludwig Sylow incentrato sui lavori di Abel e Galois tenuto nel 1862 (anche se è un po' in dubbio che Lie seguì le sue lezioni, sebbene l'argomento delle sue ricerche suggerirebbe il contrario) e quello di Carl Bjerknes sulla matematica. Ad ogni modo Lie non aveva mostrato alcuna particolare capacità matematica e anzì restò per un annetto circa nel limbo di quale interesse intraprendere tra i molti esplorati (fisica, zoologia, astronomia...). Poi nel 1866 iniziò a divorare libri di matematica dalla biblioteca dell'università⁽¹⁾.
E fu allora che la passione per questa affascinante disciplina lo prese, si potrebbe dire inevitabilmente: raccontano gli annali⁽¹⁾ che nel mezzo della notte, dopo aver raggiunto una brillante nuova idea matematica, Lie andò di corsa a svegliare il suo amico Ernst Motzfeldt che evidentemente dormiva beato dicendogli:

L'ho trovata, ed è piuttosto semplice!