Ritratti: Felix Klein

Nel corso della sua carriera matematica, Sophus Lie ha conosciuto vari matematici validi. In particolare ebbe dei rapporti particolarmente stretti con Friedrich Engel e Felix Klein, matematici tedeschi con i quali ruppe però i rapporti intorno al 1889, anno durante il quale ebbe una non meglio specificata malattia mentale. Eppure molti storici della matematica suggeriscono che tale taglio dei rapporti era dovuto al così detto programma di Erlagen di Klein.

La geometria che cambia

Felix Klein - via commons

Klein è famoso per due risultati, uno di stampo popolare, la famosa bottiglia di Klein, l'altro nel campo della geometria. In particolare le sue principali scoperte in questo campo risalgono al 1871, durante il suo periodo in cui era a Gottinga (Göttingen). Pubblicò due articoli, che mostravano come le geometrie euclidee e non euclidee potevano essere considerate come spazi metrici determinati dalla loro particolare metrica. Una consegenza del lavoro di Klein era che la consistenza della geometria non euclidea era tale se e solo se anche la geometria euclidea fosse consistente.
In sintesi il programma di Erlangen intendeva la geometria come lo studio delle proprietà dello spazio e delle sue invarianti sotto l'azione di un gruppo di trasformazioni. Il suo inizio ufficiale è datato 1872, quando Klein divenne professore presso Erlagen, durante il quale il matematico proponeva la realizzazione di un sistema unitario della geometria che utilizza i gruppi di trasformazione per studiare e rappresentare le proprietà invarianti di cui sopra.
Fu, probabilmente, proprio il ruolo fondamentale di Lie nella nascita e nello sviluppo del programma di Erlagen a rovinare i rapporti tra Klein e Lie: i due matematici, insieme, scoprirono le proprietà fondamentali in alcune superfici particolari ⁽¹⁾. Inoltre fu proprio Lie a introdurre Klein alla teoria dei gruppi tanto quanto il francese Camille Jordan⁽³⁾.

Un colpo di cannone

Fuori, il cannone tuonò sulle barricate sollevate dai ribelli di Rhineland contro i loro odiati sovrani prussiani. Dentro, sebbene tutti fossero pronti alla fuga, nessuno pensava alla partenza; quella notte nacque il figlio del severo segretario prussiano. Quel figlio era Felix Klein.⁽³⁾

Felix Klein nasceva il 25 aprile del 1849, mentre imperversavano le rivolte contro l'impero austriaco. Spesso faceva notare come i numeri della sua data di nascita fossero tutti il quadrato di un numero primo.
Dopo aver studiato a Düsseldorf, studiò matematica e fisica tra il 1865 e il 1866 presso l'università di Bonn. Qui divenne assistente di Julius Plücker, che si occupava di matematica e fisica sperimentale, ma che a quell'epoca iniziava a interessarsi sempre di più alla geometria. Fu, dunque, proprio questo interesse a indirizzare Klein verso tale disciplina, come dimostra la dissertazione di dottorato del giovane Felix, Über die Transformation der allgemeinen Gleichung des zweiten Grades zwischen Linien-Koordinaten auf eine kanonische Form⁽²⁾, che aveva come argomento centrale la geometria lineare e le sue applicazioni alla meccanica⁽³⁾.
Dopo la morte di Plücker, avvenuta nel 1868, Klein, che quello stesso anno aveva ottenuto il dottorato, si prese carico di completare il programma del suo supervisore sui nuovi spazi geometrici. Grazie a questo lavoro, ebbe modo di conoscere Alfred Clebsch, noto per i suoi contributi alla geometria algebrica e che quello stesso anno si era spostato a Gottinga, che Klein visitò nel 1869. L'anno dopo, a luglio, mentre si trovava a Parigi, città dove, tra gli altri, conobbe proprio Sophus Lie, il cancelliere prussiano Otto von Bismarck pubblicò un messaggio provocatorio contro il governo francese. La Francia, allora, dichiarò guerra alla Prussia il 19 luglio di quell'anno e così Klein fu costretto a fuggire da Parigi, mentre Lie veniva sospettato e arrestato come spia prussiana. Probabilmente come conseguenza di questi attriti bellici, Klein prestò servizio militare come medico fino a che non venne assunto a Gottinga all'inizio del 1871⁽³⁾.
L'anno dopo, come già scritto, si trasferì presso l'università di Erlagen. Qui non costruì una vera e propria scuola, ma la sua influenza sulla matematica e la fisica del XX secolo venne costruita a partire dal 1875 quando insegnò presso la Technische Hochschule di Monaco insieme con Alexander von Brill. In quel periodo ebbe come studenti gente del calibro di Max Planck, Luigi Bianchi, Gregorio Ricci-Curbastro, quest'ultimo famoso per il calcolo tensoriale fondamentale per la teoria della relatività generale di Albert Einstein. Sempre quell'anno sposò Anne Hegel, bisnipote del famoso filosofo tedesco Georg Wilhelm Friedrich Hegel. Dopo cinque anni si trasferisce a Leipzig, dove resta fino al 1886, per insegnare geometria: è qui che, tra gli altri, conosce Engel⁽³⁾.
Gli anni trascorsi a Liepzig potevano essere quelli ideali per costruire una scuola matematica come intendeva Klein, ma alla fine non fu così. Se da un lato la vita da ricercatore gli permise di portare a conclusione una serie di lavori pubblicati successivamente tra il 1886 e il 1888, in particolare tra il 1883 e il 1884 cadde in una profonda depressione, forse dovuta anche alla gran mole di lavoro di quel periodo derivante dalle attività di insegnante, organizzatore di eventi scientifici, editor del Mathematische Annalen⁽³⁾.
Nel 1886 tornò a Gottinga, dove rimase fino al suo ritiro nel 1913, e grazie alla sua attività, combinata con quella di David Hilbert, che era arrivato a Gottinga nel 1895 proprio su invito di Klein, riuscì a riportare l'università di Gottinga come punto di riferimento della matematica dell'epoca, forse anche in virtù delle differenze di approccio tra i due grandi matematici⁽⁴⁾.

Una bottiglia senza fondo

Klein, ad ogni modo, considerò sempre migliori i suoi contributi alla teoria delle funzioni. Uno dei suoi risultati migliori, in effetti, risalente al 1882, permetteva di trattare la teoria delle funzioni con l'ottica geometrica, utilizzando anche alcuni concetti della fisica, in particolare della fluidodinamica. Si occupò anche delle soluzioni per le equazioni di grado superiore al quarto, in particolare quelle di quinto grado per le quali sviluppò un metodo particolare che faceva uso del gruppo di simmetria degli icosaedri⁽³⁾.
Questi sono gli anni che portarono Klein alla forte depressione di cui sopra, ma anche alla scoperta della famosa bottiglia di Klein. Questa è una superficie non orientabile immersa in uno spazio tridimensionale che ha la proprietà di possedere una sola faccia: in pratica una bottiglia di Klein non ha interno, o non ha esterno. Dipende dai punti di vista!
Una bottiglia di Klein può essere costruita deformando opportunamente un tubo cilindrico in modo tale da mettere in collegamento l'interno del tubo con il suo esterno. Questo suggerisce un'altra curiosa proprietà della bottiglia di Klein: è una superficie che interseca se stessa, il che implica che non può essere utilizzato un solo tubo per costruire una bottiglia di Klein. Un modo per costruire una bottiglia di Klein è incollando tra loro due strisce di Moebius che vanno in direzioni opposte, oppure incollando una striscia di Moebius a una striscia normale e poi spostando uno degli estremi della striscia di Moebius lungo la striscia normale fino al punto opposto.
Altri modi per costruire una bottiglia di Klein li potete trovare su due articoli su plus magazine: Introducing the Klein bottle di Marianne Freiberger e Inside the Klein bottle di Konrad Polthier. C'è anche un bell'articolo su Cut the knot da cui ho preso il video che è diventato la gif animata che vedete in questa sezione, mentre in un vecchio Rompicapo trovate delle istruzioni che, visto il tempo intercorso, non sono riuscito a verificare.

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1. Le superfici di Kummer, scoperte dal matematico tedesco Ernst Eduard Kummer, sono superfici algebriche la cui forma dipende da due parametri numerici. ↩
2. Qualcosa come Sulle trasformazioni dell'equazione generale di secondo grado tra linee coordinate in forma canonica ↩
3. J J O'Connor, E F Robertson, "Leonard James Rogers", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews. ↩↩↩↩↩↩↩
4. Rowe, D. E. (1994). The philosophical views of Klein and Hilbert. In The intersection of history and mathematics (pp. 187-202). Birkhäuser Basel. doi:10.1007/978-3-0348-7521-9_13 ↩