Le grandi domande della vita: Il buco nero e il gravitone

L'evento centrale di metà aprile è stato il rilascio della prima fotografia di un buco nero. Dopo aver scritto una serie di tre articoli dedicati all'importante risultato scientifico/tecnologico, ritorno sulla questione grazie a una domanda particolare che è giunta sul profilo instagram di Sandro Ciarlariello, di cui prima di iniziare a rispondere alla domanda nel dettaglio segnalo l'articolo dedicato alla questione.

Una questione di gravitoni

La domanda è presto detta:

Se la gravità fosse mediata da gravitoni, come farebbero questi a uscire dall'orizzonte degli eventi?

Non è la prima volta che questa domanda viene posta, quindi si riescono a trovare un po' di risposte in giro, ma nessuna di queste mi è sembrata sufficientemente soddisfacente⁽¹⁾, così provo a fornire una mia personale risposta.
Prima di tutto vorrei fissare il punto di vista della relatività generale di Albert Einstein: questa è una teoria geometrica in cui la gravitazione viene interpretata come la deformazione della curvatura dello spaziotempo indotta dalla presenza della massa. Maggiore è la massa, maggiore è la curvatura e quindi il potere di attrarre oggetti verso il centro della curvatura stessa. Un oggetto non cade nel centro della curvatura se ha la sufficiente energia cinetica per muoversi sul bordo della curvatura stessa. In questa descrizione della gravità non è prevista l'esistenza di alcun bosone messaggero, quindi al momento i gravitoni non possono sfuggire dall'orizzonte degli eventi per il semplice motivo che non sono previsti dalla teoria.
Nel frattempo nel 1916 Karl Schwarzschild scopre che all'interno della relatività generale è prevista l'esistenza di singolarità in grado di curvare lo spaziotempo così tanto che neanche la luce è in grado di sfuggirvi⁽²⁾. La possibile esistenza delle singolarità di Schwarzschild non andava a genio al buon Einstein, che scrisse un articolo di 16 pagine per dimostrare come tali singolarità non possono esistere nella realtà fisica⁽³⁾, affermazione che in qualche modo sembra riecheggiare l'obiezione che il famoso fisico teorico rivolse alla meccanica quantistica.
All'interno della trattazione di Schwarzschild è possibile determinare una grandezza, quello che è oggi noto come il raggio di Schwarzschild \[r_s = \frac{2GM}{c^2}\] dove $G$ è la costante di gravitazione universale, $M$ la massa dell'oggetto, $c$ la velocità della luce.
Il raggio di Schwarzschild viene interpretato come l'orizzonte degli eventi. Questo viene definito a partire dal concetto di velocità di fuga. Quest'ultima è la velocità minima necessaria per sfuggire all'attrazione gravitazionale di un corpo celeste ed è data dalla formula \[v_f = \sqrt{2\frac{GM}{r}}\] dove $r$ è il raggio dell'oggetto celeste da cui si vuole sfuggire. Se al posto di $v_f$ poniamo $c$, vediamo che il raggio di Schwarzschild coincide con una superficie da cui la velocità di fuga è pari a quella della luce. Questo implica che per uscire da oltre l'orizzonte degli eventi è necessario avere una velocità superiore a $c$.
Se si fa un confronto tra le due equazioni precedenti \[v_f = \sqrt{\frac{r_s}{r}} c\] si vede come la velocità di fuga aumenta al diminuire della distanza dal centro del buco nero fino a diventare superiore alla velocità della luce per distanze inferiori a quella del raggio di Schwarzschild: al limite del centro del buco nero la velocità è infinita. In particolare questa divergenza suggerisce che la metrica all'interno del buco nero (ovvero il modo in cui si misurano le distanze tra due punti) è differente rispetto alla metrica all'esterno.
Come abbiamo già visto, il fisico-matematico russo Matvei Petrovich Bronstein dimostrò nella seconda metà degli anni Trenta del XX secolo che la relatività generale e la meccanica quantistica erano incompatibili, in particolare che non era possibile applicare il modo usuale di quantizzazione del campo elettromagnetico alla gravità così come descritta dalla relatività generale.
Il risultato di Bronstein ha avuto due sviluppi differenti: da un lato l'idea bronsteiniana di quantizzare lo spaziotempo, dall'altra quella di realizzare una gravità quantistica vera e propria. In particolare quest'ultima, che nasce all'interno del più grande paradigma delle teorie delle stringhe, prevede per la gravità l'esistenza di un bosone messaggero, il gravitone.
Chiariamo prima di tutto un concetto: un bosone messaggero è una particella virtuale che trasporta l'informazione dell'interazione tra le due o più particelle che interagiscono una con l'altra. E' un modo differente, e apparentemente un po' più fisico, di vedere il processo di scambio di numeri quantici o scambio di informazioni tra le particelle. A questo punto se il gravitone è la particella che trasporta l'informazione gravitazionale dal buco nero agli oggetti che lo circondano è abbastanza sensato chiedersi come sia possibile che tale informazione possa giungere a questi oggetti celesti visto che nulla può sfuggire all'orizzonte degli eventi a causa del limite invalicabile della velocità della luce.
Un possibile modo di vedere la faccenda, senza scomodare tecnicismi vari, che peraltro sarebbero differenti in funzione della formulazione della teoria delle stringhe scelta, proviamo a ragionare semplicemente nell'ottica dei bosoni messaggeri. Quando due entità fisiche interagiscono una con l'altra, i bosoni messaggeri sono emessi da entrambi i lati dell'interazione. Quindi, quando un corpo si avvicina al buco nero, emette una serie di bosoni messaggeri, ad esempio fotoni e gravitoni (sia nel caso in cui parliamo di una stella, sia nel caso in cui parliamo di una particella carica). Nel momento in cui i bosoni del corpo entrano dentro l'orizzonte degli eventi, non ne escono più. Allora se immaginiamo questi bosoni come delle cordicelle attaccate al corpo, è questo legame che spinge il corpo oltre l'orizzonte degli eventi.
Questa spiegazione è, indubbiamente, piuttosto naif, ma se ne può fornire un'altra differente, sempre ponendoci su un punto di vista non così ovvio: chi ci dice che i gravitoni del buco nero vengono generati solo nel suo centro di massa? Questi potrebbero, infatti, essere generati fuori dell'orizzonte degli eventi e dunque portare ai corpi all'esterno in maniera diretta l'informazione dell'esistenza del buco nero. E in effetti un meccanismo analogo è stato studiato, ottenendo come risultato che un buco nero potrebbe emettere gravitoni dal bordo del buco nero in un modo analogo all'emissione della così detta radiazione di Hawking⁽⁴⁾.
Questo è, ad ogni modo, un campo ancora totalmente aperto, quindi è possibile immaginare qualunque risposta sufficientemente sensata, o ricavarla dal modello che si prende in considerazione, ma fino a che non sarà possibile avere dei test sperimentali, tutto ciò resta un semplice esercizio logico-matematico, che ha comunque la sua dignità, ma non ha ricadute pratiche (almeno non nel senso della ricerca astronomica).

Denso come una stella di neutroni

Un'altra domanda emersa nella sessione di Sandro su Instagram è quella sulla densità dei buchi neri, in cui il lettore si chiedeva se un buco nero ha densità infinita.
Come avrete intuito dalla risposta precedente, si può ragionevolmente concludere che la densità del buco nero non è infinita. Questo fatto lo si evince non solo dal lavoro di Schwarzschild⁽²⁾, ma anche dall'articolo del 1939 di Oppenheimer e Snydeer⁽⁵⁾. Come ricorda Viktor Toth su Quora, in nessun momento della trattazione matematica dei due fisici teorici la densità della stella che collassa a causa della sua gravità rende la densità infinita. Questi valori sono raggiunti solo da comportamenti asintotici delle funzioni in gioco e, dunque, in condizioni che i due fisici ritengono non possibili per stelle reali.
Inoltre la cosa è vera anche sperimentalmente e si aggiunge al fatto che la densità di un buco nero non è nemmeno la più alta nell'universo: il buco nero più denso (all'incirca $4 \cdot 10^{14}$ $g/cm^3$) è infatti paragonabile a una stella di neutroni (tra $8.4 \cdot 10^{13}$ e $1 \cdot 10^{15}$ $g/cm^3$.

Alla ricerca dell'esponente perduto

Dopo le due domande consecutive sul buco nero, tocca alla matematica, in particolare con la soluzione dell'equazione esponenziale $x^x = 4096$. Delle molte risposte la mia preferita è quella di Alpcan Aras, che andrò a ricalcare partendo dalla seguente semplice osservazione: 4096 è una potenza di 2. In particolare \[2^{12} = 4^6 = 8^4 = 16^3 = 64^2 = 4096\] Poiché voglio trovare un numero che elevato a se stesso faccia 4096, l'intero più vicino a tale condizione è il 4. Inoltre, poiché $4^6 = 8^4$, il numero cercato deve essere maggiore di 4 e minore di 8.
Si potrebbe procedere in questo modo (deviando leggermente sul metodo di Aras, rendendolo più algoritmico ma un po' più lento). L'intero a metà strada tra 4 e 8 è il 6. Vediamo allora quanto vale $6^6 = 46656$, che è di molto superiore a quanto richiesto. Passiamo allora al numero, che è ancora un intero, a metà strada tra 4 e 6: $5^5 = 3215$. Va già meglio, ma in questo caso stiamo sottostimando la soluzione. Dimezziamo ancora: $5.5^{5.5} = 11803.06$. Ora la stima è per eccesso e anche di molto. Passiamo al prossimo dimezzamento: $5.25^{5.25} = 6037.21$. Siamo sempre per eccesso, ma questa volta non di molto. Proseguiamo: $5.125^{5.125} = 4336.92$. La strada sembra quella giusta. Prendiamo il nuovo numero a metà strada tra 5 e 5.125: $5.0625^{5.0625} = 3680.0015$. Ora l'approssimazione è per difetto, quindi il prossimo passo è intermedio tra 5.0625 e 5.125: $5.09375^{5.09374} = 3994.60$. Dopo altri sette passi dello stesso genere arrivo a $5.103271485^{5.103271485} = 4095.84$, da confrontarsi con 5.10329 che è la soluzione di Wolframalpha nella sua versione gratuita.
Ovviamente si può proseguire (lo lascio alla buona volontà del lettore), ma quello che ho descritto è, in pratica il metodo o algoritmo della bisezione (o dicotomico) applicato a un'equazione esponenziale. Per i lettori più smart, segnalo che sulla wiki inglese c'è un algoritmo scritto in pseudocode che potreste utilizzare come base di partenza per un algoritmo nel vostro linguaggio di programmazione preferito.

Una nuova equazione diofantea.

Ricordando che un'equazione diofantea è un'equazione le cui soluzioni sono reali (o per la quale si accettano esclusivamente soluzioni reali), ecco che la prossima sfida matematica è la risoluzione di $x+y = xy$.
La risposta più gettonata è la seguente:
Dopo aver fatto un po' di manipolazioni sull'equazione otteniamo \[x = \frac{y}{y-1} = 1 + \frac{1}{y-1}\] Poiché $x$ deve essere un intero, come da richiesta del problema, allora anche $1/(y-1)$ deve essere un intero. Questo numero, però, risulta intero solo in due casi $y=0$, da cui $x=0$, e $y=2$, da cui $x=2$.

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1. Vi segnalo alcune delle risposte che ho trovato sulla questione: Curious About Astronomy?, Physics Stack Exchange, Astroquizzical ↩
2. Schwarzschild, K. (1916). Über das gravitationsfeld eines massenpunktes nach der einsteinschen theorie. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften. 7: Seite 189-196. (de.wikisource | english translation on arXiv)
   Schwarzschild, K. (1916). Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften. 1: 424. (de.wikisource | english translation on arXiv) ↩↩
3. Einstein, A. (1939). On a stationary system with spherical symmetry consisting of many gravitating masses. Annals of Mathematics, 922-936. doi:10.2307/1968902 (jstor | pdf) ↩
4. Efthimiou, O. (2007). Graviton emission from a Schwarzschild black hole in the presence of extra dimensions. In Journal of Physics: Conference Series (Vol. 68, No. 1, p. 012024). doi:10.1088/1742-6596/68/1/012024 ↩
5. Oppenheimer, J. R., & Snyder, H. (1939). On continued gravitational contraction. Physical Review, 56(5), 455. doi:10.1103/PhysRev.56.455 ↩