Le grandi domande della vita: Elevazioni immaginarie

Qualche giorno fa, aspettando l'esportazione di un video che poi sarebbe andato su EduINAF (su instagram, per la precisione), mi sono fatto un giretto nella home page di YouTube, scoprendo un video interessante dal titolo abbastanza esplicito: What is i^i? Imaginary or Real? Ovviamente me lo sono chiesto anche io e ho provato a dare una risposta prima di vedere il video stesso (oltre che usare la palla al balzo per riprendere la serie de Le grandi domande della vita, che langue da un bel po').
La domanda da cui sono partito, però, è un'altra: cos'è \(2^i\)?
Sappiamo sicuramente cosa è \(e^{i \theta}\):

Le grandi domande della vita: Soluzioni grafiche

Mi sono imbattuto in due domande piuttosto analoghe, una relativa alla soluzione di questa equazione: \[5^x - 3^x = 16\] e una seconda relativa a quest'altra equazione: \[x^2 = 2^x\] In entrambi i casi non esiste un modo algebrico per trovare la soluzione, ma grafico.

Una bisezione logaritmica

Lo so che questo post sarebbe perfetto per Le grandi domande della vita, ma la rubrica naviga un po' a vista (e comunque lo inserisco nella raccolta!), così non mi sembrava il caso di titolare al solito modo per una sola domanda, che poi è una di quelle a cui ogni tanto mi capita di rispondere su Quora. Passiamo alla domanda:
Dimostrare che \[-\frac{1 + \ln x}{1 + 2 \ln x} = e^{-\frac{1+x}{1 + 2x}}\]

Le grandi domande della vita: Il buco nero e il gravitone

L'evento centrale di metà aprile è stato il rilascio della prima fotografia di un buco nero. Dopo aver scritto una serie di tre articoli dedicati all'importante risultato scientifico/tecnologico, ritorno sulla questione grazie a una domanda particolare che è giunta sul profilo instagram di Sandro Ciarlariello, di cui prima di iniziare a rispondere alla domanda nel dettaglio segnalo l'articolo dedicato alla questione.

Una questione di gravitoni

La domanda è presto detta:

Se la gravità fosse mediata da gravitoni, come farebbero questi a uscire dall'orizzonte degli eventi?

Non è la prima volta che questa domanda viene posta, quindi si riescono a trovare un po' di risposte in giro, ma nessuna di queste mi è sembrata sufficientemente soddisfacente⁽¹⁾, così provo a fornire una mia personale risposta.
Prima di tutto vorrei fissare il punto di vista della relatività generale di Albert Einstein: questa è una teoria geometrica in cui la gravitazione viene interpretata come la deformazione della curvatura dello spaziotempo indotta dalla presenza della massa. Maggiore è la massa, maggiore è la curvatura e quindi il potere di attrarre oggetti verso il centro della curvatura stessa. Un oggetto non cade nel centro della curvatura se ha la sufficiente energia cinetica per muoversi sul bordo della curvatura stessa. In questa descrizione della gravità non è prevista l'esistenza di alcun bosone messaggero, quindi al momento i gravitoni non possono sfuggire dall'orizzonte degli eventi per il semplice motivo che non sono previsti dalla teoria.
Nel frattempo nel 1916 Karl Schwarzschild scopre che all'interno della relatività generale è prevista l'esistenza di singolarità in grado di curvare lo spaziotempo così tanto che neanche la luce è in grado di sfuggirvi⁽²⁾. La possibile esistenza delle singolarità di Schwarzschild non andava a genio al buon Einstein, che scrisse un articolo di 16 pagine per dimostrare come tali singolarità non possono esistere nella realtà fisica⁽³⁾, affermazione che in qualche modo sembra riecheggiare l'obiezione che il famoso fisico teorico rivolse alla meccanica quantistica.

Schema per affrontare il calcolo di un esponenziale

Erano un po' di giorni che ci pensavo. E' che, semplicemente, mi sembrava incredibile che la maggior parte delle funzioni per il calcolo dell'esponenziale dei principali linguaggi di programmazione (inclusi gli algoritmi di Google e Wolfram Alpha) fallavano nel calcolo di $-2^{7/5}$, mentre una calcolatrice scientifica installata su uno smartphone propone il risultato giusto, nello specifico -2.639015822. Sicuramente gli algoritmi fallaci di cui sopra non hanno al loro interno una non sono in grado di gestire tutte le varie possibilità che un calcolo del genere propone agli studenti dei corsi di matematica sin dalle scuole superiori. E non è così stupefacente che un programmatore non abbia pensato a tutte le possibilità, per il semplice fatto che un buon programmatore non è necessariamente un buon matematico (e generalmente non lo è: non solo, la matematica non è nemmeno essenziale per assumere qualcuno come programmatore!). Ad ogni modo quali potrebbero essere tutte le possibilità che si dovrebbero prendere in considerazione nell'affrontare un problema del genere? Ho provato a fare uno schema:

Come vedete nello schema mi sono concentrato nell'operazione $a^{b/c}$ (con almeno $b$, $c$ interi), questo perché se vogliamo programmare un generico $a^b$, dobbiamo in qualche modo saper trattare con $b$ decimali, quindi saper calcolare $a^{b/c}$ è essenziale tanto quanto saper razionalizzare un numero decimale (e quindi anche questo algoritmo andrebbe richiamato all'interno del nostro programma).
Ovviamente, se ho scordato qualche possibilità, o se avete da proporre strade per la razionalizzazione o altre strade ancora, ci sono i commenti per discuterne.