Una bisezione logaritmica

Lo so che questo post sarebbe perfetto per Le grandi domande della vita, ma la rubrica naviga un po' a vista (e comunque lo inserisco nella raccolta!), così non mi sembrava il caso di titolare al solito modo per una sola domanda, che poi è una di quelle a cui ogni tanto mi capita di rispondere su Quora. Passiamo alla domanda:
Dimostrare che $$-\frac{1 + \ln x}{1 + 2 \ln x} = e^{-\frac{1+x}{1 + 2x}}$$ La prima osservazione è che la funzione a destra dell'uguale è sempre positiva. Quindi, se questa equazione è vera, lo è solo nell'intervallo in cui la funzione a sinistra è positiva. E tale intervallo è $$\frac{1}{e} < x < \frac{1}{\sqrt e}$$ Questo intervallo viene determinato risolvendo la disequazione $$\frac{1 + \ln x}{1 + 2 \ln x} < 0$$ Questo vuol dire studiare separatamente numeratore e denominatore e poi determinare in quale zona il loro prodotto è negativo: $${1 + \ln x} > 0$$ $${1 + 2 \ln x} > 0$$ La soluzione delle due disequazioni è abbastanza immediata: basta ricordare che $e^{-1} = 1/e$, ed $e^{-1/2} = 1 / \sqrt{e}$.
Ripassato ciò, non resta che il passo successivo: determinare gli zeri della funzione $$g(x) = e^{-\frac{1+x}{1 + 2x}} + \frac{1 + \ln x}{1 + 2 \ln x}$$ Per farlo il modo migliore è il metodo della bisezione, che ho già utilizzato in una precedente puntata delle grandi domande. In questo caso gli estremi di partenza sono quelli dell'intervallo di cui sopra. La prima accortezza, però, è quella di ricordarsi che $g(x)$ non è definita in $1/e$ (diverge), per cui potete subito calcolare i valori nell'altro estremo dell'intervallo e nel suo punto medio.
Procedendo per divisioni successive dovreste arrivare alla soluzione, che è una sola, all'incirca 0.46854713 e vari altri decimali.