Le carte perdute di Bernhard Riemann

Disegni tratti da una pagina dei manoscritti di Riemann

C'è una leggenda, riportata da Marcus du Satoy nel suo L'enigma dei numeri primi del 2003, giunto l'anno dopo in Italia, secondo la quale, mentre Bernhard Riemann e la moglie Elise Koch, con la quale si sposò nel 1862, erano in giro per l'Europa, la governate della sua casa a Gottinga gettò via alcune carte del grande matematico, inclusi alcuni lavorni non conclusi o che Riemann non riteneva convincenti.
Per fortuna non tutto ciò che Riemann non pubblicò in vita finì nel cestino dopo le pulizie della governante. Molte di queste carte vennero, infatti, recuperate da Richard Dedekind, al quale Elise aveva dato il compito di occuparsi dell'eredità matematica del marito Bernhard⁽¹⁾.

L'archivio di Riemann

Riemann, che negli anni precedenti aveva intessuto rapporto con i matematici italiani, era morto nella nostra penisola nel 1866. Dedekind, dopo aver forse dato una prima occhiata al vasto archivio dell'amico e collega, decise di rivolgersi a un altro matematico per farsi assistere nel compito di realizzare un'edizione completa dei lavori di Riemann: Alfred Clebsch. Era il 1872 quando i due entrarono in contatto a questo scopo. Purtroppo per Dedekind, a novembre di quello stesso anno anche Clebsch morì, per cui, nel 1874, decise di contattare Heinrich Martin Weber⁽¹⁾.
Alla fine i due matematici completarono il loro lavoro con la pubblicazione, nel 1876, di una specie di omnia che raccoglieva 11 articoli pubblicati in vita, 7 postumi e 12 lavori inediti. A completare il volume c'erano alcuni testi filosofici e una biografia di Riemann scritta dallo stesso Dedekind⁽²⁾.
Eppure qualcosa era sfuggita all'attento e meticoloso lavoro di Dedekind e Weber.

Il matematico che non dimostrava nulla

Edmund Landau

Dopo l'introduzione della funzione zeta nel 1859 in Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (che possiamo tradurre come Sul numero dei numeri primi inferiori a una data grandezza), Riemann enunciò una serie di importanti teoremi su questa funzione, solo che molti di questi teoremi avevano delle dimostrazioni appena abbozzate. Non dimentichiamo che una parte consistente dei lavori di Riemann, 19 su un totale di 30 partendo da quelli pubblicati da Dedekind e Weber, erano stati pubblicati dopo la sua morte, quindi non necessariamente tutti completi come avrebbe voluto il matematico.
Nonostante ciò Edmund Landau e Godfrey Harold Hardy (sì, il matematico che scoprì Srinivasa Ramanujan!) all'inizio del XX secolo affermarono che Riemann aveva prodotto solo congetture senza fornire alcuna dimostrazione⁽³⁾. I due, però, si sbagliavano di brutto.

La dimostrazione perduta

Carl Ludwig Siegel a Gottinga nel 1975

Probabilmente all'inizio degli anni Trenta, vista la data dell'articolo originale (1932), Carl Ludwig Siegel⁽⁴⁾, incuriosito da una lettera che Riemann scrisse a Karl Weierstrass nel 1859, decise di spulciare nell'archivio riemanniano presso l'università di Gottinga.
Nella lettera, che era stata pubblicata proprio nell'omnia curata da Dedekind e Weber, Riemann accennava a un nuovo sviluppo della funzione zeta. Il matematico, però, non riteneva di averlo sufficientemente semplificato per poterlo introdurre nell'articolo uscito proprio nel 1859. Ed evidentemente non completò il lavoro nemmeno negli anni successivi.
Desideroso di ritrovare questo risultato perduto, Siegel si gettò nell'esame delle carte, riscoprendo una rappresentazione della funzione zeta che, in effetti, non fu il primo a osservare. Alcuni decenni prima, infatti, era finita in mano a un bibliotecario, tale Distel, che ovviamente non ne comprese i risvolti matematici. Tale rappresentazione era relativa allo sviluppo asintotico della funzione zeta. I termini di questo sviluppo erano stati riscoperti negli anni Venti proprio da Hardy insieme con John Edensor Littlewood⁽⁵⁾, ma erano già presenti nelle carte gottinghiane di Riemann.
Essendo un matematico, Siegel non si limitò solo a raccontare la storia su queste carte perdute, ma sviluppò ulteriormente il lavoro di Riemann arrivando a quella che è oggi nota come formula di Riemann-Siegel.
Ed è proprio a partire da questa formula che Alan Turing diede il via alla sua stima degli zeri della funzione zeta, ma questa, come si sul dire, è un'altra storia.
Quella della formula di Riemann-Siegel, però, forse si è conclusa di recente con un'ulteriore estensione asintotica che, si spera, ha chiuso gli ultimi buchi presenti nella trattazione.

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(1) Emmylou Haffner. Insights into Dedekind and Weber's edition of Riemann's Gesammelte Werke. Mathematische Semesterberichte, 2017, 64 (2), pp.169-177. ⟨10.1007/s00591-017-0194-3⟩. ⟨halshs-03513249⟩ (pdf)
(2) Tapia, V. (2026). The suppression thesis in Riemann's Habilitationsvortrag. arXiv:2609.18923.
(3) Iurato, G. (2014). The early historical roots of Lee-Yang theorem. arXiv:1410.6450.
(4) Barkan, E., & Sklar, D. (2018). On Riemanns Nachlass for Analytic Number Theory: A translation of Siegel's Uber. arXiv:1810.05198.
(5) Hardy, G. H., & Littlewood, J. E. (1921). The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line. Mathematische Zeitschrift, 10(3), 283-317. (zenodo)