Misurare gli zeri di Riemann

Un grazie a Massimiliano Tanzini per la segnalazione su twitter

---

L'ipotesi, o forse si dovrebbe meglio dire la congettura di Riemann è legata al lavoro di Bernhard Riemann sui numeri primi, in particolare sulla loro distribuzione.
Riemann scoprì una funzione, oggi nota come zeta di Riemann, \[\zeta (x) = \prod_{p}^\infty \frac{1}{1 - p^{-x}}\] con $p$ numero primo.
La congettura afferma che

La parte reale di ogni radice non banale della funzione zeta è $1/2$.

Alan Turing e la zeta di Riemann

Le ultime informazioni attendibili sulla funzione $\zeta$ di Riemann non erano molto ottimistiche. Come in varie occasioni un po' tutti i blogger e divulgatori matematici hanno affermato, l'approccio alla dimostrazione dell'ipotesi di Riemann e alla ricerca degli zeri della funzione $\zeta$ segue le due strade della dimostrazione formale e dell'approccio numerico. Proprio a quest'ultimo si era rivolto Alan Turing quando, poco prima della guerra (1939), aveva richiesto un supporto economico alla Royal Sociaty per la costruzione di una macchina allo scopo di calcolare i valori approssimati della $zeta$ di Riemann sulla linea critica. Il calcolo richiedeva la somma di serie trigonometriche, probabilmente ispirandosi a una macchina costruita a Liverpool proprio per eseguire la somma di serie di questo genere.
Turing, aiutato dallo studente canadese Donald MacPhail, realizzò anche un progetto, che è giunto fino a noi, e iniziò la costruzione della macchina stessa. Le operazioni, però, vennero interrotte a causa dei suoi impegni con lo spionaggio britannico e i pezzi andarono successivamente perduti.

La fisica di Riemann

All'incirca un mese fa Michael Atiyah, vincitore sia della Medaglia Fields nel 1966 sia del Premio Abel nel 2004, ha annunciato di avere dimostrato l'ipotesi (o congettura) di Riemann. Questa sarebbe (più o meno) contenuta in due articoli, The Riemann Hypothesis (pdf su Google Drive) e The fine structure constant (pdf su Google Drive o su empslocal.ex.ac.uk). Lo scetticismo è regnato sovrano sia prima sia dopo la conferenza di Atiyah: basti leggere Reading Into Atiyah’s Proof, Atiyah Riemann Hypothesis proof: final thoughts, On Michael Atiyah and the Riemann Hypothesis e altri che qui non elenco.
Onestamente non mi sarei occupato della questione, innanzitutto perché dopo la conferenza di Terrence Tao alla Bicocca a Milano le mie personali speranze di vedere dimostrata l'ipotesi sono piuttosto basse, ma scartabellando tra gli appunti elettronici ho ritrovato un preprint interessante che vale la pena segnalare, grazie al suo titolo affascinante, Physics of the Riemann Hypothesis (arXiv):

Una costante per Riemann

Venerdì scorso Terence Tao è passato dalla Bicocca per raccontare un po' di cose su funzione e ipotesi di Riemann. Quanto segue è ispirato a quella conferenza.

---

Nel 1950 Nicolaas Govert de Bruijn introdusse la oggi nota funzione $H (\lambda, z)$, con $\lambda$ parametro reale e $z$ variabile complessa, connessa con la funzione di Riemann, la famosa $\zeta$. Tale funzione venne introdotta da Bernhard Riemann all'interno di un più ampio lavoro sui numeri primi. Una delle questioni irrisolte su tali numeri (ovvero quei numeri naturali che non hanno divisori se non loro stessi) è legata alla loro spaziatura e a come questa varia man mano che i numeri primi diventano sempre più grandi. Secondo l'ipotesi di Riemann gli zeri della funzione $\zeta$, che sono collegati con i numeri primi (e quindi la funzione $\zeta$ ne rappresenta la distribuzione sull'asse dei numeri), sono numeri complessi la cui parte reale è uguale a $1/2$.
Il lavoro di de Bruijn venne successivamente implementato da Charles Newman che nel 1976 dimostrò l'esistenza di una costante $\Lambda$ tale che la funzione $H$ ha zeri reali se e solo se $\lambda \geq \Lambda$. Inoltre mostrò che l'ipotesi di Riemann era equivalente a suppore $\Lambda \leq 0$.
Seguendo questo approccio, una parte della ricerca matematica sulla dimostrazione dell'ipotesi di Riemann si è concentrata sulla determinazione della costante di de Bruijn-Newman, in particolare sui limiti inferiore e superiore di $\Lambda$.
Per quel che riguarda il limite superiore, questo è stato stabilito in $\Lambda \leq 0.22$. Tale risultato è stato raggiunto dal progetto Polymath, una collaborazione tra matematici per risolvere i problemi più importanti e difficili della disciplina lanciato nel 2009 Timothy Gowers sul suo blog.
Tale limite sembrerebbe suggerire una possibilità positiva nella dimostrazione dell'ipotesi di Riemann. Tale possibilità è però frustrata dal limite inferiore determinato da Brad Rogers e Terence Tao: $\Lambda \geq 0$. Questo implica che l'ipotesi di Riemann è, nel migliore dei casi, a malapena vera.
La situazione è complicata dal fatto che è possibile introdurre una nuova variabile $t$, detta tempo, ottenendo così differenti versioni della funzione $H$. Ed eseguendo piccole perturbazioni nel tempo, gli zeri di $H$ tendono a spostarsi dall'asse reale se $\Lambda \geq 0$. Quindi la dimostrazione dell'ipotesi di Riemann, anche nel caso in cui $\Lambda$ si rivelasse nullo, sarebbe ancora ben lontana dal dirsi conclusa.

---

Articoli:
de Brttijn, N. G. (1950). The roots of trigonometric integrals. Duke Math. J, 17, 197-226. doi:10.1215/s0012-7094-50-01720-0 (pdf
Newman, C. M. (1976). Fourier transforms with only real zeros. Proceedings of the American Mathematical Society, 61(2), 245-251. doi:10.1090/s0002-9939-1976-0434982-5
Rodgers, B., & Tao, T. (2018). The De Bruijn-Newman constant is non-negative. arXiv preprint arXiv:1801.05914.

Ritratti: Bernhard Riemann

La rivoluzione che Riemann portò nella matematica va al di là della semplice ipotesi che porta il suo nome. I suoi principali contributi possono essere considerati quelli nella geometria, in particolare nell'aver imposto all'attenzione dei suoi colleghi le così dette geometrie non-euclidee, ovvero quel tipo di geometrie che differiscono da quella Euclidea ad esempio perché non si svolgono lungo un piano ma lungo una superficie sferica. Questa rivoluzione portò la matematica, e con essa anche la fisica, nel XX secolo: in effetti uno dei matematici più apprezzati che operò a cavallo tra XIX e XX secolo, Henri Poncaré, fu inevitabilmente influenzato da Riemann e dalla sua nuova matematica.
Georg Friedrich Bernhard Riemann nacque il 17 settembre 1826 a Breselenz, in Germania. Secondo genito della coppia Friedrich Bernhard Riemann, pastore luterano, e Charlotte Ebell, non visse certo nell'oro, soprattutto considerando che in totale i genitori di Georg ebbero 6 figli, 4 femmine e 2 maschi, dei quali solo la maggiore, Ida, ebbe una vita tutto sommato lunga per i canoni dell'epoca. D'altra parte lo stesso Riemann, timodo, tranquillo e schivo, ebbe una salute non proprio di ferro: non a caso, insieme con la moglie Elise Koch, amica della sorella Ida, negli ultimi anni di vita decise di trasferirsi in Italia, paese dal clima più mite, dove morì nel luglio del 1866 a Selesca sulle rive del Lago Maggiore.
Gli anni giovanili, dedicati allo studio, trascorsero prima ad Hannover e poi a Lunenburg, dove il preside della locale scuola superiore, tale Schmalfuss, sembra che incoraggiò l'interesse di Riemann verso la matematica, probabilmente prestandogli testi di matematica avanzata, tra cui il Théorie des Nombres di Adrien-Marie Legendre, volume che, narra la leggenda, Georg imparò a memoria dopo appena una settimana!
L'episodio, al di là della sua veridicità, illustra comunque il talento mnemonico prodigioso del giovane Riemann, un talento che, grazie al rigore matematico, riuscì a mettere a frutto per far avanzare di grandi la disciplina che in quel tempo vedeva in Gauss il suo massimo esponente e in Gottinga l'Università più prestigiosa d'Europa.
In effetti a Gottinga Riemann andò non per studiare matematica, ma teologia, per seguire le orme del padre, dunque. Però dopo appena un anno il nostro seguì le sue inclinazioni e passò così allo studio della matematica. Dopo la laurea e la partecipazione ai moti del 1948, conseguì il dottorato a Berlino (1851) per poi ottenere il posto da associato (1857), che diventa anche il suo primo stipendio stabile, e successivamente da ordinario (1859) a Gottinga.
Sebbene la sua carriera accademica si svolse principalmente a Gottinga, una parte molto importante nella sua formazione la ebbe il periodo berlinese, durante il quale, tra gli altri, ebbe modo di conoscere e studiare sotto la guida di Lejeune Dirichlet, con il quale entrò in grande sintonia, come si capisce leggendo quanto scrive Felix Klein a tal proposito:

Il legame tra Riemann e Dirichlet fu subito forte, grazie alla profonda affinità del loro modo di pensare e ragionare. Dirichlet amava chiarire dapprima le cose a se stesso, procedendo per via immediatamente intuitiva; in seguito, analizzava con logica penetrante le questioni fondamentali, ma evitava il più possibile lunghi calcoli. Questo suo modo di procedere piaceva a Riemann, che lo fece proprio e lavorò seguendo i metodi di Dirichlet.⁽¹⁾

E' con questo metodo che, ad esempio per il dottorato, propose una tesi dal titolo Sulla rappresentabilità di una funzione mediante una serie trigonometrica, alla quale doveva affiancare una dissertazione su uno tra tre argomenti che lo stesso Riemann doveva proporre e che la commissione avrebbe scelto. E Gauss, il presidente della commissione, scelse per una discussione geometrica dal titolo Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria: è su questo lavoro che vennero poste le basi della geometria non-euclidea!
L'altro grande capolavoro riemanniano è però l'ipotesi che porta il suo nome e che venne descritta dallo stesso Riemann nel discorso di accettazione del posto da ordinario, per poi diventare un articolo dal titolo Sul numero dei primi minori di una grandezza data. Quel discorso iniziava così: