Le grandi domande della vita: Elevazioni immaginarie

Qualche giorno fa, aspettando l'esportazione di un video che poi sarebbe andato su EduINAF (su instagram, per la precisione), mi sono fatto un giretto nella home page di YouTube, scoprendo un video interessante dal titolo abbastanza esplicito: What is i^i? Imaginary or Real? Ovviamente me lo sono chiesto anche io e ho provato a dare una risposta prima di vedere il video stesso (oltre che usare la palla al balzo per riprendere la serie de Le grandi domande della vita, che langue da un bel po').
La domanda da cui sono partito, però, è un'altra: cos'è $2^i$?
Sappiamo sicuramente cosa è $e^{i \theta}$: $$e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta$$ Inoltre sappiamo che $$a^b = e^{b \ln a}$$ Combinando le due otteniamo $$2^i = e^{i \ln 2} = \cos (\ln 2) + i \sin (\ln 2)$$ Quindi quando andiamo a valutare $i^i$, dobbiamo sostituire al 2 della formula precedente l'unita' immaginaria: $$i^i = \cos (\ln i) + i \sin (\ln i)$$ A questo punto ci resta da determinare $\ln i$. In questo ci viene in aiuto la rappresentazione cartesiana dei numeri complessi. I numeri complessi, infatti, vengono rappresentati su un piano cartesiano in cui l'asse orizzontale e' costituito dai numeri reali, la parte reale di un numero complesso, mentre sull'asse verticale troviamo i multipli di $i$, ovvero la parte immaginaria di un numero complesso. In questo modo un qualsiasi numero complesso puo' essere scritto nella forma: $$r \left ( \cos \theta + i \sin \theta \right )$$ dove $r$ e' la lunghezza del vettore che identifica il numero complesso nel piano cartesiano.
Ora, poiche' l'unita' immaginaria giace sull'asse verticale, il suo "raggio" e' 1 mentre il suo angolo $\pi / 2$ e quindi $$i = e^{i \frac{\pi}{2}}$$ dove ho applicato la formula di Eulero (la prima equazione presente in questo post) al contrario.
Quindi, inserendo la parte a destra, dopo l'uguale, all'interno del logaritmo di $i$ otteniamo $$\ln i = i \frac{\pi}{2}$$ da cui $$i^i = \cos \left ( i \frac{\pi}{2} \right ) + i \sin \left (i \frac{\pi}{2} \right ) = \cosh \left ( \frac{\pi}{2} \right ) - \sinh \left (\frac{\pi}{2} \right )$$ dove va ricordato che $\cos (i a) = \cosh a$ e $\sin (i a) = i \sinh a$. Ad ogni buon conto ci siamo quasi!
Le funzioni seno e coseno iperbolici sono cosi' definite $$\cosh a = \frac{e^a+e^{-a}}{2}$$ $$\sinh a = \frac{e^a-e^{-a}}{2}$$ Quindi $$\cosh \left ( \frac{\pi}{2} \right ) = \frac{e^\frac{\pi}{2}+e^{-\frac{\pi}{2}}}{2}$$ $$\sinh \left ( \frac{\pi}{2} \right ) = \frac{e^\frac{\pi}{2}-e^{-\frac{\pi}{2}}}{2}$$ Mettendo tutto insieme otteniamo $$i^i = \frac{e^\frac{\pi}{2}+e^{-\frac{\pi}{2}}}{2} - \frac{e^\frac{\pi}{2}-e^{-\frac{\pi}{2}}}{2} = e^{-\frac{\pi}{2}}$$ In effetti a questo risultato si poteva arrivare in maniera molto più rapida partendo dalla forma $$i = e^{i \frac{\pi}{2}}$$ A questo punto $$i^i = \left ( e^{i \frac{\pi}{2}} \right )^i = e^{i^2 \frac{\pi}{2}} = e^{- \frac{\pi}{2}}$$ In ogni caso entrambi i procedimenti, sia quello macchinoso, sia quello più diretto, portano allo stesso risultato: $i^i$ è un numero reale.
E ora possiamo andare a vedere il video!