Irriducibili

Si potrebbe dire che esiste un ben preciso criterio di irriducibilità. In realtà è la definizione di polinomio irriducibile a essere unica: un polinomio si dice irriducibile solo quando non è fattorizzabile, almeno detta in termini semplici. E sempre in termini semplici si possono quindi paragonare i polinomi irriducibili ai numeri primi.
Invece di criteri di irriducibilitò ne esistono diversi: uno di Arthur Cohn o un altro di Gotthold Eisenstein. Oppure quello di Jitender Singh e Sanjeev Kumar. Tutti in ogni caso a fare una cosa apparentemente semplice: cercare di fornire i criteri necessari per determinare se un polinomio è irriducibile oppure no.
E come potete capire, la cosa non è esattamente banale. Basti, infatti, pensare a quale anello si prende in considerazione per definire l'irriducibilità del polinomio. Per esempio il polinomio \[p(x) = 1 + x^2\] non è irriducibile nei reali, ma lo è nei complessi: \[p(x) = (x+i)(x-i) = (x^2-i^2) = x^2 +1\] Non a caso i due criteri "storici" che ho citato, di Cohn e Eisenstein, agiscono su due anelli differenti, rispettivamente sui numeri naturali e i numeri razionali.

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P.S.: se ve lo state chiedendo, la risposta è no, non ho visto il film.

Il criterio di irriducibilità di Eisenstein

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Dato il polinomio \[p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0\] se esiste un numero primo \(p\) tale che le seguenti tre condizioni sono tutte applicate:

1. \(p\) divide ogni \(a_i\) per \(0 \leq i < n\);
2. \(p\) non divide \(a_n\);
3. \(p^2\) non divide \(a_0\)

Allora il polinomio \(p(x)\) è irriducibile sui razionali.