Le grandi domande della vita: Equazioni polinomiali

Sono incappato in due equazioni imparentate tra loro che mi sono divertito a risolvere. Iniziamo dalla prima: \[x(x+1)(x+2)(x+3) = 24\] La possiamo già risolvere senza manipolarla in alcun modo. Innanzitutto basta notare che la fattorizzazione di 24 è \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4\) e questo già di permette di trovare una prima soluzione: \(x_3 = 1\) (più sotto capirete il "3" come pedice). Esiste anche una seconda fattorizzazione con i numeri negativi che ci porta a una seconda soluzione. Se infatti cambiamo di segno a tutti i numeri della prima fattorizzazione, allora ci rendiamo conto che una seconda soluzione è \(x_4 = -4\).
L'equazione di partenza, però, è di quarto grado, quindi esisteranno altre due soluzioni, non sappiamo se reali o immaginarie. Però conosciamo, anche solo parzialmente, la fattorizzazione del polinomio associato all'equazione di partenza:

Irriducibili

Si potrebbe dire che esiste un ben preciso criterio di irriducibilità. In realtà è la definizione di polinomio irriducibile a essere unica: un polinomio si dice irriducibile solo quando non è fattorizzabile, almeno detta in termini semplici. E sempre in termini semplici si possono quindi paragonare i polinomi irriducibili ai numeri primi.
Invece di criteri di irriducibilitò ne esistono diversi: uno di Arthur Cohn o un altro di Gotthold Eisenstein. Oppure quello di Jitender Singh e Sanjeev Kumar. Tutti in ogni caso a fare una cosa apparentemente semplice: cercare di fornire i criteri necessari per determinare se un polinomio è irriducibile oppure no.