Le grandi domande della vita: Equazioni polinomiali

Sono incappato in due equazioni imparentate tra loro che mi sono divertito a risolvere. Iniziamo dalla prima: \[x(x+1)(x+2)(x+3) = 24\] La possiamo già risolvere senza manipolarla in alcun modo. Innanzitutto basta notare che la fattorizzazione di 24 è \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4\) e questo già di permette di trovare una prima soluzione: \(x_3 = 1\) (più sotto capirete il "3" come pedice). Esiste anche una seconda fattorizzazione con i numeri negativi che ci porta a una seconda soluzione. Se infatti cambiamo di segno a tutti i numeri della prima fattorizzazione, allora ci rendiamo conto che una seconda soluzione è \(x_4 = -4\).
L'equazione di partenza, però, è di quarto grado, quindi esisteranno altre due soluzioni, non sappiamo se reali o immaginarie. Però conosciamo, anche solo parzialmente, la fattorizzazione del polinomio associato all'equazione di partenza: \[p(x) = x(x+1)(x+2)(x+3) - 24 = (x-1) (x+4) q(x)\] Dunque per trovare le altre due soluzioni dobbiamo cercare questo \(q(x)\). Notiamo che \[x (x+3) = x^2 + 3x\] \[(x+1)(x+2) = x^2 + 3x + 2\] Quindi, ponendo \(y = x^2 + 3x\), possiamo riscrivere \(p(x)\) come segue \[p(x) \rightarrow p(y) = y(y+2) - 24 = y^2 + 2y - 24\] Quest'ultimo può essere fattorizzato come segue: \[p(y) = (y+6)(y-4)\] e ritornando alla \(x\) otteniamo \[p(x) = (x^2 + 3x + 6)(x^2 + 3x - 4) = (x^2 + 3x + 6)(x-1)(x+4)\] da cui \[q(x) = x^2 + 3x + 6\] Questo è, come giusto che sia, un polinomio di secondo grado, che tra l'altro ha determinante negativo, e quindi l'equazione \(q(x) = 0\) ha due soluzioni complesse. Per trovarle non è, però, necessario applicare la formula risolutiva, ma basta semplicemente applicare la tecnica del completamento del quadrato. Nello specifico, se immaginiamo che \(3x\) è il doppio prodotto, allora \[q(x) = \left ( x+\frac{3}{2} \right )^2 + \frac{15}{4}\] Quindi \(q(x) = 0\) diventa \[\left ( x+\frac{3}{2} \right )^2 = - \frac{15}{4}\] da cui \[x_{1,2} = -\frac{3}{2} \pm \sqrt{-\frac{15}{4}} = \frac{-3 \pm i \sqrt{15}}{2}\] La seconda, che come state per vedere è "imparentata" con la prima, è \[x(x+1)(x+2)(x+3)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)\] In questo caso la principale attenzione da fare è sul metodo risolutivo. Se, per esempio, lo risolviamo dividendo, dobbiamo ogni volta porre la condizione di \(x\) diverso da, per cui conviene, invece, portare tutto da un unico lato dell'uguaglianza e poi mettere in evidenza. In questo modo otteniamo: \[x(x+1)(x+2)(x+3)^2 = 0\] da cui \[x_1 = 0, x_2 =-1, x_3 =-2, x_{4,5} = -3\] Ricordiamo, infatti, che il 3 viene, come soluzione, da un'equazione di secondo grado, e dunque andrebbe contato due volte.