I rompicapi di Alice: Giocare con la carta

Quella degli origami è l'antica arte giapponese del piegare la carta (significato letterale del termine, tra l'alktro). Utilizzando questa tecnica è possibile realizzare una gran serie di oggetti, di cui sicuramente uno dei più noti a molti dei lettori è certamente l'aeroplanino di carta. In effetti un aeroplanino non è, per i puristi, un vero e proprio origami⁽¹⁾: le regole fondamentali per costruire un origami, infatti, sono utilizzare un foglio di carta e piegarlo, senza fare tagli sulla carta stessa o utilizzare altri aiuti esterni come la colla o aggiungere dei pesi alla struttura, cosa che ad esempio si fa sugli aeroplanini per migliorarne l'efficienza (come volare più lontano o restare sospesi più a lungo) o fare delle evoluzioni più spettacolari.

Aeroplanino realizzato con cartone a scuola durante l'ultima lezione di chiusura dell'anno scolastico

La storia dei modellini volanti è vecchia quanto il mondo, più o meno quanto il sogno dell'uomo di volare: si inizia con Archita di Taranto, filosofo e matematico greco del IV secolo a.c. che costruì una colomba forse di carta, quasi sicuramente con parti di legno. E aveva parti di legno anche l'aquila costruita da Johann Müller, detto Regiomontano. A introdurre in Occidente questa tecnica fu Fear God Bascomb quando, nel 1743, di ritorno dalla Cina, portò negli Stati Uniti un modellino di aereo. Da qui l'arrivo in Europa in un periodo, per certi versi, non proprio positivo, dal punto di vista dell'aeroplanino: si era infatti in pieno illuminismo e gli aeroplanini di carta vennero considerati semplicemente un gioco (e ancora oggi lo sono per la maggior parte). Eppure Sir George Cayley riuscì a intuire le applicazioni scientifiche dei modellini aerei di carta: fu infatti grazie agli studi su questi particolari "giocattoli" che Cayley riuscì, nel 1853, a mettere in volo il primo aliante. Iniziava, così, l'era della conquista del cielo e l'aeronautica, intesa come scienza del volo⁽²⁾.
La storia di Cayley dimostra, qualora ce ne fosse bisogno, che gli aeroplanini sono un ottimo mezzo per sperimentare con la fisica: aeronautica, certamente, ma anche balistica e gravità, è possibile cioè utilizzare gli aeroplanini per sperimentare con una serie di concetti fisici di cui non sempre siamo realmente consapevoli. Il fatto stesso, però, di piegare la carta (oggetto bidimensionale) per realizzare una forma all'interno dello spazio tridimensionale è un'attività matematica, perché permette di sperimentare con mano con la geometria e la topologia, il più importante dei quali è l'isometria: le dimensioni dell'oggetto tridimensionale che realizziamo, infatti, dipendono dalle dimensioni del foglio di carta di partenza e dalle pieghe che vi applichiamo.
Questo legame tra origami e matematica, ad esempio, rendeva questa forma d'arte molto interessante agli occhi di Lewis Carroll⁽³⁾. Ad esempio nel 1891, dopo che l'anno prima aveva appreso da Francis Epiphanius la tecnica, l'autore di Alice nel Paese delle Meraviglie impartì una lezione ai figli della duchessa di Albany per costruire una pistola di carta in grado di schioppettare se opportunamente mossa nell'aria. L'origami che invece ho provato io a fare è quello che racconta Freda Bremer a Collingwood in The life and letters of Lewis Carroll:

La nostra amicizia iniziò in modo alquanto singolare. Stavamo giocando sul forte a Margate e un signore seduto lì vicino ci domandò se eravamo in grado di fare una barca di carta, con un sedile su ogni lato e una cesta al centro per il pesce! Naturalmente fummo incantati dall'idea e il nostro nuovo amico, dopo aver finito l'opera, ci diede il suo biglietto da visita, che subito portammo a nostra madre.⁽³⁾

Secondo John Fisher, la barca descritta da Carroll a Freda e amici era l'origami noto come giunca cinese, che una volta completata sembra effettivamente avere quattro posti a sedere e una cesta al centro.

Un altro origami che ho realizzato seguendo le istruzioni di Fisher è, poi, il cappello dei falegnami, che in realtà da piccolo ho visto utilizzare dai muratori:

Lo so: la giunca cinese non è venuta proprio benissimo (sembra un po' ammaccata qua e là... mentre ad esempio Elvis Diéguez ne ha fatta una decisamente megliore) però almeno il cappellino non è venuto malissimo!
Un altra struttura geometricamente interessante che è quasi un origami è poi il Borsellino di Fortunatus⁽⁸⁾ che in realtà è, o dovrebbe essere nelle intenzioni di Carroll, la meglio nota bottiglia di Klein, scoperta nel 1882 dal matematico tedesco Felix Klein.
Così come la striscia di Mebius è in realtà un oggetto bidimensionale con un'unica faccia, la bottiglia di Klein è un oggetto tridimensionale con un'unica superficie, ma per poterla costruire bisogna tagliare la carta⁽⁴⁾ oppure utilizzare più di un foglio di carta, come ad esempio suggerisce lo stesso Carroll⁽⁸⁾ (anche se fa notare Fisher⁽³⁾ che il modo di costruire la bottiglia/borsellino suggerito dall creatore di Alice non è completamente corretto, poiché non è possibile chiudere il borsellino!).
In pratica l'idea è quella di arrotolare un foglio di carta quasi come un cono, con un'estremità più sottile dell'altra. A questo punto l'estremità più sottile viene fatta passare attraverso un taglio sulla superficie e congiunta perfettamente con l'estremità più ampia, nel frattempo ripiegata verso l'interno della bottiglia. Se, a questo punto, si fa viaggiare un'etichetta posta su quella che si potrebbe ritenere la superficie esterna, si osserverà che l'etichetta si farà, senza alcun problema, il viaggio di tutta la superficie della bottiglia, mostrando così che in effetti le facce non sono due, una interna e una esterna, ma una sola!

Gli origami, quindi, possono essere utilizzati più in generale per l'insegnamento della geometria e della matematica in generale, o in particolare per aiutare studenti con particolari disabilità⁽⁵⁾. Si possono utilizzare anche per risolvere problemi algebrici o classici come la duplicazione del cubo, dovuta a Peter Messer

o la trisezione di un angolo, dovuta a Hisashi Abe⁽⁶⁾

Inoltre si può anche osservare la presenza degli origami in natura!

Negli origami, la forma segue l'organizzazione spaziale sequenziale delle pieghe. Ciò richiede un intervento continuo e solleva una questione naturale: possono gli origami essere generati grazie all'auto-organizzazione? Rispondiamo affermativamente al quesito esaminando la possibile origine fisica per le foglie di Miura-ori che si presentano naturalmente nelle ali degli insetti, nelle foglie e in altri organelli laminari. In particolare, si segnalano esempi in cui la compressione biassiale di un film sottile elasticamente supportato, dovuto a crescita differenziale, restringimento, essiccazione, o dilatazione termica, genera spontaneamente questi schemi, e forniamo una semplice spiegazione teorica per il loro verificarsi.⁽⁷⁾

Gli origami, però, non sono solo un modo divertente per introdurre e utilizzare la matematica, ma anche un simbolo di pace contro tutte le guerre: Sadako Sasaki aveva pochi mesi quando, il 6 agosto del 1945, cadde la bomba su Hiroshima. La sua famiglia si trovava in un raggio di 2 km dall'epicentro e all'inizio sembrò che fossero riusciti a salvarsi dall'esplosione. Purtroppo, probabilmente a causa della giovanissima età della bimba, Sadako a dodici anni scoprì di aver contratto la leucemia.
La bambina aveva una volontà di vivere indomabile, così, conoscendo la leggenda giapponese secondo cui chi riesce a piegare mille gru (ovvero a realizzare mille origami di una gru) vede esaudito un suo desiderio, inizia nell'impresa: purtroppo non la portò a termine, fermandosi solo a 644.

Scriverò la parola pace sulle tue ali
e volerai intorno al mondo
perché i bambini non muoiano piú cosí

Il suo esempio divenne ispirazione, Sadako e le mille gru sono oggi diventate un simbolo della pace e ogni anno, il 6 agosto, migliaia di gru da tutto il mondo arrivano in Giappone, ai piedi della statua di Sadako, come una preghiera di pace per il mondo.

Il monumento per la pace dedicato alla piccola Sadako Sasaki (foto di Lisa Norwood)

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Vedi anche:
Per quel che riguarda gli aeroplanini di carta, è interessante dare un'occhiata al video, su Wired, per costruire l'aeroplanino di carta perfetto, che però vola poco...
Un sito interessante dove potrete trovare un po' di modellini da aerei da costruire è invece Aerei di carta
Infine, se siete interessati a partecipare a competizioni del genere, ogni anno a Salisburgo si tiene il Red Bull Paper Wing, il campionato del mondo di aeroplanini di carta!
Curioso come gli aeroplanini sono stati anche oggetto di studio anche in tempi moderni: Ng Bing Feng, Kng Qiao Mei, Pey Yin Yin, e Jörg U. Schlüter hanno proposto alla 27.ma conferenza di aerodinamica tenutasi a San Antonio in Texas a fine giugno 2009 il lavoro On the Aerodynamics of Paper Airplanes (pdf) dove hanno cercato di capire con opportuni esperimenti il modo migliore di costruire un aeroplanino di carta.

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Gli origami, invece, che vengono utilizzati in vari modi anche nel mondo della ricerca (vedi ad esempio Self-assembly of carbon nanotubes into two-dimensional geometries using DNA origami templates), sono come detto oggetto di studio della matematica. In italiano, oltre all'articolo di Federico Peiretti⁽¹⁾, è disponibile anche il più formale Concedetemi un taglio... (pdf) di Luca Gecchelin.
Sempre restando nel campo dei contributi formali, molto interessante è A theory of origami world (pdf) di Takeo Kanade, o, per chi può scaricarlo (non sono riuscito a trovare un pdf disponibile) Origami design secrets: mathematical methods for an ancient art di Robert Lang e Thomas Hull.
Altrettanto completo e interessante è poi La matematica degli origami di Emanuele Paolini, dove viene spiegato come uno dei maggiori interessi della matematica negli origami sta nello studio delle righe (o della trama, se preferite) lasciato sul foglio di carta quando scomponiamo un origami. Ed è proprio su questa parte della faccenda che si concentra Unfolding polyhedra di Konrad Polthier, dove si vede come scomporre un origami nella sua superficie bidimensionale di partenza: viene anche scomposto il torso di Venere!
Aggiunta da ultimo minuto di argomento origami è poi Origami, racconto di Roberto Zanasi della conferenza Algebra e geometria piegando la carta di Benedetto Scimemi.

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Sulla bottiglia di Klein, direi che un buon punto di partenza, soprattutto perché contiene riferimenti interessanti, è Folding a Klein Bottle di Ivars Peterson.
Curioso, poi, Paper Klein Bottle Net, che propone una costruzione cubica della bottiglia, mentre Physical Construction of Surfaces with Mesh Optimisation (pdf) di Lu Yongquan dove vengono utilizzare le simulazioni al computer per avvicinarsi agli origami e alla bottiglia di Klein.

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Infine, per quel che riguarda Sadako Sasaki e i 1000 origami per la pace vale la pena leggere Sadako Sasaki and the 1000 paper cranes, Poets I Didn’t Study in School, Sadako Sasaki

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(1) Federico Peiretti, Matematica e... origami
(2) Gli aeroplani di carta nella storia
(3) John Fisher, Il libro dei rompicapi di Alice
(4) Stephen Barr, Experiments in topology
(5) Chen K. (2005). Math in Motion: Origami Math for Students Who Are Deaf and Hard of Hearing, Journal of Deaf Studies and Deaf Education, 11 (2) 262-266. DOI: 10.1093/deafed/enj019

Gli origami matematici possono essere utilizzati come introduzione al discorso matematico (...). Implementati come attività matematica di base, gli origami rendono la matematica più visuale e alla mano, che è quello che vogliamo per i nostri studenti sordi o duri d'orecchio. Speriamo, in questo imodo, che gli insegnanti di matematica possano aiutare l'istruzione pubblica ad adempiere le proprie responsabilità di massimizzare la possibilità di ogni studente di imparare e avere successo in un ambiente meno restrittivo.

(6) Hull T. (1996). A Note on "Impossible" Paper Folding, The American Mathematical Monthly, 103 (3) 240. DOI: 10.2307/2975374

Una trattazione alternativa al problema può essere trovata su Trisections and Totally Real Origami di Roger Alperin, mentre si può seguire la trisezione con una spiegazione passo passo sul sito della ricercatrice H. A. Verrill
(7) Mahadevan L. & Rica S. (2005). Self-Organized Origami, Science, 307 (5716) 1740-1740. DOI: 10.1126/science.1105169 (pdf)

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(8) Il seguente passaggio è tratto da Sylvie e Bruno nella traduzione di Emanuela Turchetti dal Libro dei rompicapi di Alice di Fisher:

- Avete mai sentito parlare del borsellino di Fortunatus, Milady? Ah, così! Vi sorprenderebbe che con tre di questi piccolissimi fazzoletti potreste realizzare, in poco tempo e senza difficoltà, il borsellino di Fortunatus?
- Davvero? - rispose entusiasta Lady Murici, mentre se ne metteva in grembo una pila e infilava l'ago - Per favore, ditemi come, Mein Herr! Ne farò uno prima di toccare un'altra goccia di tè!
- Per prima cosa - disse Mein Herr, che si impossessò di due fazzoletti, ne stese uno sull'altro e li sollevò poi per i due pizzi - bisogna unire questi angoli superiori, il destro con il destro e il sinistro con il sinistro l'apertura nel mezzo sarà la bocca del borsellino.
Bastarono pochi punti per eseguire questa istruzione.
- Adesso, se cucio insieme gli altri tre bordi - ella suggerì - la borsa sarà finita?
- Niente affatto, Milady: i bordi inferiori dovranno essere cuciti per primi... ah, ma non così - mentre lei iniziava a cucirli. - Rovesciatene uno e unite l'angolo inferiore destro di un fazzoletto con l'angolo inferiore sinistro dell'altro, cucite insieme i bordi in quella che direste la maniera sbagliata.
- Ho capito! - disse Lady Murici, mentre con mano destra eseguiva gli ordini - E ne viene fuori una borsa assai contorta, scomoda e sconcertante! Ma la morale è molto carina. L'infinita ricchezza si può ottenere soltanto facendo le cose nella maniera sbagliata! E come facciamo a unire insieme queste misteriose... no, voglio dire questa misteriosa apertura? - rivoltando quella cosa da una parte e dall'altra con aria perplessa - Sì, l'apertura è una. All'inizio pensavo che fossero due.
- Conoscete il rompicapo dell'Anello di Carta? - disse Mein Herr, rivolgendosi al conte - Dove si prende un foglio di carta e se ne uniscono le estremità, dapprima torcendone una, in modo da unire l'angolo superiore di una estremità con l'angolo inferiore dell'altra?
- Ne ho visto uno appena ieri - rispose il conte - Murici, mia cara, non ne stavi facendo tu uno per divertire quei bambini che avevi invitato a prendere il té?
- Sì, conosco quel rompicapo - disse Lady Murici - L'anello ha solo una superficie e un solo bordo. E' molto misterioso! - La borsa è esattamente così, non è vero? - sugerii - La superficie esterna di un lato non è forse continua con la superficie interna dell'altro lato?
- Proprio così - esclamò lei - Solo che non è una borsa, non ancora. Come faremo a chiudere questa apertura, Mein Herr?
- Così! - disse il vecchio in tono risoluto, togliendole di mano la borsa e levandosi in piedi nell'eccitamento della spiegazione - Il bordo dell'apertura è costituito dai quattro bordi dei fazzoletti, e si può seguire ininterrottamente il tracciato tutt'intorno all'apertura: giù per il lato destro di un fazzoletto, su per il bordo sinistro dell'altro, e poi giù per il bordo sinistro di un fazzoletto e su per il bordo destro dell'altro!
- E' vero! - mormorò Lady Murici, posando la testa sulla mano e guardando con ansia il vecchio - E questo dimostra che l'apertura è una sola!
Aveva un'aria così strana da sembrare una bambina assorta nello sforzo di capire una lezione difficile, e Mein Herr, in quel momento, era stranamente diventato così simile al vecchio professore che mi sentii completamente sbalordito: la sensazione "magica" mi assaliva con tutta la sua forza, e fui quasi costretto a dire: - Lo capisci, Sylvie? - Mi trattenni, però, a gran fatica, e lasciai che il sogno (se davvero era un sogno) continuasse fino alla fine.
- Adesso, questo terzo fazzoletto - continuò Mein Herr - ha anch'esso quattro bordi, dei quali possiamo seguire il tracciato tutt'intorno: basta soltanto unire i suoi quattro bordi ai quattro bordi dell'apertura. Il borsellino a questo punto è finito e la sua superficie esterna...
- Lo vedo! - lo interruppe Lady Murici concitata - La sua superficie esterna sarà continua con la sua superficie interna! Ma ci vorrà del tempo. Lo cucirò dopo il tè. - Mise da parte la borsa e riprese in mano la sua tazza di tè - Ma perché la chiamate il Borsellino di Fortunatus, Mein Herr?
L'affabile vecchio sorrise radioso, in un modo che ora più di prima, lo rendeva perfettamente simile al professore.
- Non vedete, mia cara... o dovrei dire Milady? Tutto quello che è dentro il borsellino è fuori e tutto quello che è fuori è dentro. E così, in quel piccolo borsellino, avete tutta la ricchezza del mondo!

L'originale può essere trovato su Lit2Go