Trisecare con gli origami

La trisecazione di un angolo è uno di quei problemi affascinanti che ha sempre stimolato la creatività dei matematici. Alcuni metodi li ho presentati in un post dedicato del ciclo Dimostrazioni senza parole. Oggi, invece, vi propongo un paio di tecniche di trisecazione che coinvolgono gli origami. La prima, di Hisashi Abe all'interno di un rompicapo dedicato proprio a questa antica arte giapponese:

I rompicapi di Alice: Giocare con la carta

Quella degli origami è l'antica arte giapponese del piegare la carta (significato letterale del termine, tra l'alktro). Utilizzando questa tecnica è possibile realizzare una gran serie di oggetti, di cui sicuramente uno dei più noti a molti dei lettori è certamente l'aeroplanino di carta. In effetti un aeroplanino non è, per i puristi, un vero e proprio origami⁽¹⁾: le regole fondamentali per costruire un origami, infatti, sono utilizzare un foglio di carta e piegarlo, senza fare tagli sulla carta stessa o utilizzare altri aiuti esterni come la colla o aggiungere dei pesi alla struttura, cosa che ad esempio si fa sugli aeroplanini per migliorarne l'efficienza (come volare più lontano o restare sospesi più a lungo) o fare delle evoluzioni più spettacolari.

Aeroplanino realizzato con cartone a scuola durante l'ultima lezione di chiusura dell'anno scolastico

La storia dei modellini volanti è vecchia quanto il mondo, più o meno quanto il sogno dell'uomo di volare: si inizia con Archita di Taranto, filosofo e matematico greco del IV secolo a.c. che costruì una colomba forse di carta, quasi sicuramente con parti di legno. E aveva parti di legno anche l'aquila costruita da Johann Müller, detto Regiomontano. A introdurre in Occidente questa tecnica fu Fear God Bascomb quando, nel 1743, di ritorno dalla Cina, portò negli Stati Uniti un modellino di aereo. Da qui l'arrivo in Europa in un periodo, per certi versi, non proprio positivo, dal punto di vista dell'aeroplanino: si era infatti in pieno illuminismo e gli aeroplanini di carta vennero considerati semplicemente un gioco (e ancora oggi lo sono per la maggior parte). Eppure Sir George Cayley riuscì a intuire le applicazioni scientifiche dei modellini aerei di carta: fu infatti grazie agli studi su questi particolari "giocattoli" che Cayley riuscì, nel 1853, a mettere in volo il primo aliante. Iniziava, così, l'era della conquista del cielo e l'aeronautica, intesa come scienza del volo⁽²⁾.
La storia di Cayley dimostra, qualora ce ne fosse bisogno, che gli aeroplanini sono un ottimo mezzo per sperimentare con la fisica: aeronautica, certamente, ma anche balistica e gravità, è possibile cioè utilizzare gli aeroplanini per sperimentare con una serie di concetti fisici di cui non sempre siamo realmente consapevoli. Il fatto stesso, però, di piegare la carta (oggetto bidimensionale) per realizzare una forma all'interno dello spazio tridimensionale è un'attività matematica, perché permette di sperimentare con mano con la geometria e la topologia, il più importante dei quali è l'isometria: le dimensioni dell'oggetto tridimensionale che realizziamo, infatti, dipendono dalle dimensioni del foglio di carta di partenza e dalle pieghe che vi applichiamo.
Questo legame tra origami e matematica, ad esempio, rendeva questa forma d'arte molto interessante agli occhi di Lewis Carroll⁽³⁾. Ad esempio nel 1891, dopo che l'anno prima aveva appreso da Francis Epiphanius la tecnica, l'autore di Alice nel Paese delle Meraviglie impartì una lezione ai figli della duchessa di Albany per costruire una pistola di carta in grado di schioppettare se opportunamente mossa nell'aria. L'origami che invece ho provato io a fare è quello che racconta Freda Bremer a Collingwood in The life and letters of Lewis Carroll:

La nostra amicizia iniziò in modo alquanto singolare. Stavamo giocando sul forte a Margate e un signore seduto lì vicino ci domandò se eravamo in grado di fare una barca di carta, con un sedile su ogni lato e una cesta al centro per il pesce! Naturalmente fummo incantati dall'idea e il nostro nuovo amico, dopo aver finito l'opera, ci diede il suo biglietto da visita, che subito portammo a nostra madre.⁽³⁾