Le grandi domande della vita: Potenze di pi

La febbre del pi greco sta aumentando sempre di più, così ecco arrivare un post dedicato ad alcune potenze del $\pi$ piuttosto particolari. Iniziamo scaldandoci un po':

Potenze su potenze

Giusto per iniziare leggeri (anche se la domanda originale chiedeva tutt'altro), utilizzando un qualsiasi sistema di calcolo a vostra scelta (come per esempio WolframAlpha) proviamo a vedere quanto vale: $$\pi^{\pi^{\pi}} \approx 1.3402 \times 10^{17}$$ Un numero piccolo piccolo!
Ovviamente questa è stata una questione di semplice calcolo, e in effetti potrebbe esserlo anche la faccenda successiva:

Questione di dimostrazione

In questo caso andiamo, infatti, a esaminare la seguente disuguaglianza: $$\pi^{\pi^{\pi^{\pi}}} > {{(\pi+1)^{(\pi-1)}}^{(\pi+1)}}^{(\pi-1)}$$ Ispirato dalla prima risposta, la più votata in assoluto, ho pensato a come mostrare la cosa partendo dall'espressione generica in cui al posto di $\pi$ sostituiamo $x$: $$x^{x^{x^{x}}} > {{(x+1)^{(x-1)}}^{(x+1)}}^{(x-1)}$$ Iniziamo con l'esaminare i due lati della disuguaglianza. A sinistra abbiamo $x$ elevato a se stesso per 4 volte (che ricordo è diverso da $x^4$). Come funzione, al crescere di $x$, cresce molto rapidamente.
A destra l'espressione è simile, ma anche piuttosto differente, visto che troviamo una alternanza tra $(x+1)$ e $(x-1)$. Questa espressione può essere semplificata come segue: $${{(x+1)^{(x-1)}}^{(x+1)}}^{(x-1)} = \left ( (x+1)^{(x-1)(x+1)} \right )^{(x-1)} =$$ $$= (x+1)^{(x^2-1)(x-1)} = (x+1)^{(x^3-x^2-x+1)}$$ La nostra disuguaglianza di partenza diventa quindi: $$x^{x^{x^{x}}} > (x+1)^{(x^3-x2-x+1)}$$ Prendiamo, ora, tutti gli $x > 2$. In questo caso se applichiamo l'operazione di logaritmo a entrambi i membri, non dobbiamo modificare il segno della disuguaglianza, perché sia il logaritmo a sinistra sia quello a destra saranno positivi: $$x^{x^{x}} \log x > (x^3-x^2-x+1) \log (x+1)$$ Con un'ulteriore manipolazione arriviamo a $$x^{x^{x}} > (x^3-x^2-x+1) \frac{\log (x+1)}{\log x}$$ Per $x > 2$ il rapporto tra i due logaritmi lo possiamo considerare una costante numerica, nel dettaglio 1.6: di fatto è il valore approssimato per eccesso quando poniamo $x = 2$. La potenza di $x$ posta a sinistra, invece, tende a crescere più velocemente delo polinomio a destra, per cui sicuramente andando verso l'infinito la disuguaglianza è vera. A noi, però, interessa il caso in cui $x = \pi$. Vediamo, allora, cosa succede per $x=2$: $$2^{2^{2}} = 16 > (2^3 - 2^2 - 2 +1) \cdot 1.6 = 4.8$$ e poiché la cosa, all'aumentare di $x$ diventa sempre più vera, possiamo concludere che, in particolare, è vera anche per $x = \pi$.
Chicca finale: se proviamo a disegnare le due curve utilizzando GeoGebra, otteniamo:

Il punto di intersezione è $A = (1,1)$, mentre la curva verde è ${{(x+1)^{(x-1)}}^{(x+1)}}^{(x-1)}$, mentre la blu l'altra. E come vedete anche il grafico supporta la conclusione che abbiamo raggiunto prima: sono soddisfazioni!

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Immagine in apertura generata con Night Cafe