Le grandi domande della vita: Potenze di pi

La febbre del pi greco sta aumentando sempre di più, così ecco arrivare un post dedicato ad alcune potenze del \(\pi\) piuttosto particolari. Iniziamo scaldandoci un po':

Potenze su potenze

Giusto per iniziare leggeri (anche se la domanda originale chiedeva tutt'altro), utilizzando un qualsiasi sistema di calcolo a vostra scelta (come per esempio WolframAlpha) proviamo a vedere quanto vale: \[\pi^{\pi^{\pi}} \approx 1.3402 \times 10^{17}\] Un numero piccolo piccolo!
Ovviamente questa è stata una questione di semplice calcolo, e in effetti potrebbe esserlo anche la faccenda successiva:

Questione di dimostrazione

In questo caso andiamo, infatti, a esaminare la seguente disuguaglianza: \[\pi^{\pi^{\pi^{\pi}}} > {{(\pi+1)^{(\pi-1)}}^{(\pi+1)}}^{(\pi-1)}\] Ispirato dalla prima risposta, la più votata in assoluto, ho pensato a come mostrare la cosa partendo dall'espressione generica in cui al posto di \(\pi\) sostituiamo \(x\): \[x^{x^{x^{x}}} > {{(x+1)^{(x-1)}}^{(x+1)}}^{(x-1)}\] Iniziamo con l'esaminare i due lati della disuguaglianza. A sinistra abbiamo \(x\) elevato a se stesso per 4 volte (che ricordo è diverso da \(x^4\)). Come funzione, al crescere di \(x\), cresce molto rapidamente.
A destra l'espressione è simile, ma anche piuttosto differente, visto che troviamo una alternanza tra \((x+1)\) e \((x-1)\). Questa espressione può essere semplificata come segue: \[{{(x+1)^{(x-1)}}^{(x+1)}}^{(x-1)} = \left ( (x+1)^{(x-1)(x+1)} \right )^{(x-1)} =\] \[= (x+1)^{(x^2-1)(x-1)} = (x+1)^{(x^3-x^2-x+1)}\] La nostra disuguaglianza di partenza diventa quindi: \[x^{x^{x^{x}}} > (x+1)^{(x^3-x2-x+1)}\] Prendiamo, ora, tutti gli \(x > 2\). In questo caso se applichiamo l'operazione di logaritmo a entrambi i membri, non dobbiamo modificare il segno della disuguaglianza, perché sia il logaritmo a sinistra sia quello a destra saranno positivi: \[x^{x^{x}} \log x > (x^3-x^2-x+1) \log (x+1)\] Con un'ulteriore manipolazione arriviamo a \[x^{x^{x}} > (x^3-x^2-x+1) \frac{\log (x+1)}{\log x}\] Per \(x > 2\) il rapporto tra i due logaritmi lo possiamo considerare una costante numerica, nel dettaglio 1.6: di fatto è il valore approssimato per eccesso quando poniamo \(x = 2\). La potenza di \(x\) posta a sinistra, invece, tende a crescere più velocemente delo polinomio a destra, per cui sicuramente andando verso l'infinito la disuguaglianza è vera. A noi, però, interessa il caso in cui \(x = \pi\). Vediamo, allora, cosa succede per \(x=2\): \[2^{2^{2}} = 16 > (2^3 - 2^2 - 2 +1) \cdot 1.6 = 4.8\] e poiché la cosa, all'aumentare di \(x\) diventa sempre più vera, possiamo concludere che, in particolare, è vera anche per \(x = \pi\).
Chicca finale: se proviamo a disegnare le due curve utilizzando GeoGebra, otteniamo:

Il punto di intersezione è \(A = (1,1)\), mentre la curva verde è \({{(x+1)^{(x-1)}}^{(x+1)}}^{(x-1)}\), mentre la blu l'altra. E come vedete anche il grafico supporta la conclusione che abbiamo raggiunto prima: sono soddisfazioni!

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Immagine in apertura generata con Night Cafe