Matematica, lezione 52: Teoria dei gruppi e rappresentazioni proiettive

Visto che il libro è disponibile per l'acquisto online, anche se alla mia edicola di fiduca, dove sto acquistando tutti i numeri della collana, non è arrivato nemmeno stamattina, ho deciso comunque di pubblicare il post dedicato.

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Inizio a scrivere queste note tra l'uscita del 42.mo e quella del 43.mo volume, più o meno il periodo temporale in cui ho consegnato tutto il materiale relativo al libriccino con cui ho contribuito, per un piccolo pezzo, al lungo percorso della collana Matematica, curata da Maurizio Codogno. Ovviamente, anche se la classifico all'interno delle "recensioni", non può essere considerata una vera e propria recensione, ma più un qualcosa a metà strada tra una guida alla lettura e un backstage.
Inizio, quindi, dall'unica parte che non ho scritto, la biografia matematica, scritta come ormai da alcuni mesi da Veronica Giuffré e in questo volume dedicata a Galileo Galilei, coincidenza che ho trovato molto gradita!
Veniamo, però, agli inizi e a quella e-mail che mi arriva chiedendomi con urgenza la disponibilità per scrivere un volume per la collana. Che per poco non potevano essere due, ma nel frattempo che ragionavo sul secondo volume quelli appartenenti a questo nuovo e ultimo prolungamento erano stati assegnati tutti, così sono rimasto sulla primissima proposta: la teoria dei gruppi e le rappresentazioni proiettive. Il titolo del volume le vede al contrario per un mio disguido, ma ha poca importanza, visto che comunque, anche se non nell'ordine con cui vengono trattate, le due discipline sono entrambe presenti.
Il materiale di partenza in pratica era già pronto, altrimenti non avrei accettato un mese di tempo (o poco più) prima della consegna: ho, infatti, selezionato i vari capitoli e i loro contenuti a partire dalla tesi di dottorato e dunque la principale difficoltà era riuscire a contenere il materiale entro le pagine a disposizione, tanto che alla fine ho dovuto limitarmi sugli esercizi per poter restare entro i limiti.
Alla parte più prettamente formale, che solo in pochi punti sono riuscito a rendere un po' più accessibile, ho aggiunto alcune digressioni di carattere storico, grazie ai post dei Ritratti, anche se un paio dei personaggi di cui ho raccontato non sono ancora presenti nella serie. Inoltre nella parte relativa alla teoria dei gruppi ho preso ispirazione da un bel testo edito dalla Mathematical Association of America, Visual Group Theory di Nathan Carter: è possibile che gli dedicherò una recensione in futuro, magari dopo la conclusione della serie. Da questo volume ho tirato fuori l'idea di inserire i diagrammi di Cayley, per esempio, o quella di dare un piccolo spazio al cubo di Rubik, che poi è finito in copertina grazie a una splendida intuizione del grafico della collana.
La parte più complessa da sistemare, però, è stata quella relativa alla teoria delle rappresentazioni proiettive. Innanzitutto c'era da sistemare un po' la definizione e, soprattutto, trovare un attacco non troppo formale in modo da lasciare al lettore qualcosa nell'ipotesi che decida di abbandonare la lettura. E poi dovevo selezionare cosa tenere fuori della trattazione originale, cosa comunque non banale visto che mi sembrava tutto essenziale! Mi sono, però, lasciato guidare dalla sezione in cui racconto le applicazioni alla fisica delle rappresentazioni proiettive, e questo ha indubbiamente aiutato. Parte di tutto questo viene molto ben raccontato da Maurizio sul suo blog.
Alla fine, rispetto alla bozza cui faccio riferimento all'inizio, ho operato degli ulteriori tagli visto che l'impaginatrice non riusciva comunque a stare entro i limiti, per cui ho comunque una mezza idea di distribuire on-line una specie di director's cut, ma ci ragionerò sopra solo tra qualche mese (forse il prossimo anno?).
In questo volume, poi, anche i giochi matematici erano affidati agli autori del testo principale, e così ho provato, anche se la cosa non era obbligatoria, a realizzare una sezione dei giochi che potesse in qualche modo essere in linea con il tema principale. D'altra parte avevo inserito riferimenti al cubo di Rubik nel capitolo sulla teoria dei gruppi, come accennato prima, così cercando cercando mi sono imbattuto in The Group Theory Puzzle Book di David Nacin edito dalla Springer che mi ha permesso di scoprire il calcudoku di gruppo. Da lì, ragionandoci intorno, ecco nascere il discorso sui quadrati magici presente nella sezione dei giochi dove, come potete immaginare, la fa da padrone il Sudoku!
Conto di ripubblicare, con qualche modifica, il capitolo dei giochi all'interno della sezione dei Rompicapi di Alice, e ho una mezza idea di fare altrettanto con un paio degli esercizi, ma questo attiene a post (e probabilmente video) futuri.

Mi sembrava giusto inserire la parte più squisitamente tecnica in un apposito box, avendo scritto il testo in LaTeX. Era necessario, per semplificare il lavoro dell'impaginatrice, produrre un file in .rtf, per cui avevo già provveduto a installare pandoc, che permette proprio di fare ciò. Avevo, però, sperimentato con l'esportazione in .docx e non in rtf e, su questa è stato Maurizio che mi ha suggerito un comando che ho effettivamente utilizzato:

pandoc -s -f latex -t rtf -o file.rtf file.tex

L'altro problema era, però, che le equazioni andavano esportate in .svg. E qui nasceva un ulteriore problema: avendo una quantità di equazioni dell'ordine del centinaio, risultava un compito improbo, così ho cercato metodi automatici per la conversione, trovando un secondo comando pandoc:

pandoc -s --gladtex input.tex -o output.htex

I file con estensione .htex vanno poi "trattati" usando GladTex con il comando

gladtex output.htex

che genera nella cartella una serie di svg a partire dalle equazioni matematiche che si trovano all'interno del file .htex all'interno di opportuni tag html. Ovviamente anche GladTex, come pandoc, va preventivamente installato.
Tutto questo, per quanto semplifichi la faccenda e non di poco, non è però un passaggio definitivo: ho dovuto, infatti, esaminare l'oltre migliaio di svg prodotti, confrontarli con la matematica presente nell'rtf, decidere quindi quale di queste sostituire con gli svg, scoprendo che alcune equazioni non erano state esportate, mentre altre erano state esportate in maniera errata. In questi casi ho copia/incollato il codice LaTeX all'interno di due editor online, un equation editor preferenziale, che però non permetteva di inserire il pacchetto utilizzato per alcuni font specifici, per cui ho dovuto affiancare al primo, un secondo un po' più flessibile.
Inoltre ho anche preferito esportare le immagini che ho realizzato con tikz anche queste in svg e in questo caso, piuttosto che usare un metodo a "linea di comando" ho preferito rivolgermi a uno dei tanti servizi online che esportano direttamente il pdf in svg, cosa che mi sembrava comunque più semplice e veloce.