Problemi controintuitivi per intelligenze del terzo millennio

Su arXiv c'è un interessante preprint che di base può essere utile per qualsiasi serie di articoli o libro sulla probabilità. Counterintuitive problems in discrete probability di Luca Avena, Gianmarco Bet e Bernardo Busoni presenta 20 problemi (o rompicapi) probabilistici.
L'idea dietro questa raccolta nasce dalla constatazione che nell'ambito della probabilità spesso l'intuizione conduce alla risposta errata. A quel punto i tre ricercatori hanno sviluppato dei problemi pensati esplicitamente per mettere alla prova le strategie di ragionamento euristico che spesso conducono a conclusioni intuitivamente plausibili ma matematicamente errate. Alcuni di questi problemi sono, in effetti, ispirati a problemi noti in letteratura o in matematica ricreativa, e il gruppo li ha opportunamente riformulati per renderli irriconoscibili. L'idea, infatti, è quella di utilizzarli per testare i modelli linguistici di intelligenza artificiale per capire se e quanto siano anch'essi soggetti a bias cognitivi analoghi a quelli umani.
Ovviamente ho provato a fare un test veloce con Copilot, Gemini e Claude. Per il test ho utilizzato il 20.mo problema della collezione:

Una questione jacobiana

Pur non avendo una storia lunga come quella dell'ultimo teorema di Fermat, la congettura jacobiana risulta particolarmente interessante per diversi motivi. Tale congettura si occupa dei polinomi a più variabili e afferma che se una funzione polinomiale in uno spazio a \(n\) dimesioni ha uno jacobiano costante e non nullo, allora la funzione ammette un'inversa polinomiale.
Il nome della congettura, che richiama il matematico tedesco Carl Gustav Jacob Jacobi, discende proprio dallo jacobiano, o per essere più precisi dal determinante jacobiano della matrice associata alla funzione polinomiale oggetto della congettura stessa. Gli elementi di questa matrice sono costituiti dalle derivate parziali della funzione polinomiale.
La prima formulazione di questa congettura risale al 1884 in un articolo di Ludwig Kraus, che ne fornisce anche una dimostrazione, che però si rivelò errata, nel caso di due dimensioni. La formulazione moderna in \(n\) dimensioni risale a una cinquantina di anni più tardi, il 1939 e porta la firma di Ott-Heinrich Keller.
Non è chiaro chi assegnò tale nome alla congettura. Uno dei primi utilizzi di questo nome risale al 1973 in un articolo di Masayoshi Miyanishi, però secondo Tzuong-Tsieng Moh fu dopo un seminario di Oscar Zariski tenuto alla fine degli anni Sessanta del XX secolo presso la Purdue University che la comunità matematica decise di chiamare tale congettura come congettura jacobiana.

Articoli interessanti nel campo della didattica della fisica

Grazie all'iscrizione alle newsletter dello IOP (l'Institute of Physics di Gran Bretagna e Irlanda), ricevo periodicamente aggiornamenti su vari campi della fisica. Come ben sa chi segue da tempo questo blog ve ne do traccia aperiodicamente e anche quest'oggi vi propongo una variegata rassegna di qeusto genere di articoli. Iniziamo con tre paper provenienti da...

Matematica in vacanza #7: giugno-luglio 2026

Dopo l'edizione straordinaria di metà maggio maggio, torna matematica in vacanza nella sua usuale versione estiva.
E visto che alcuni articoli sono strettamente legati all'unico articolo extra-DropSea presente questo mese, inizierei proprio da Dinamica di un asteroide: un giallo astronomico!, il mio nuovo contributo alla rubrica delle Astrocuriosità dell'Osservatorio Astronomico di Brera.
In maniera quasi casuale, mi sono ritrovato a proseguire il discorso iniziato con l'Astrocuriosità di marzo in cui raccontavo alcuni contributi astronomici di Carl Friedrich Gauss, che peraltro è in qualche modo legato anche a Isaac Asimov e a James Moriarty, assurto alla gloria letteraria (e soprattutto cinematografica) per essere il nemico di Holmes.
Tra gli scienziati citati nell'articolo e nel video uscito per Brera è presente anche Srinivasa Ramanujan e gli ultimi due problemi presenti nei suoi blocchi degli appunti. Dimostrati praticamente un secolo dopo la stesura degli stessi, sono oggi noti come Il problema finale, chiaro omaggio al racconto che, nelle intenzioni di Arthur Conan Doyle sarebbe dovuto essere l'ultimo di Holmes.
Sempre nell'Astrocuriosità viene citato uno dei due appartenenti al club dei Baker Street Irregulars che ha convinto Asimov a scrivere un saggio sulla fantomatica Dinamica di un asteroide di Moriarty: è il matematico Banesh Hoffmann cui ho dedicato un WikiRitratto.

Dai vetri di spin a... Cluade

Giorgio Parisi - via commons

E' notizia recente che Giorgio Parisi ha concluso una dimostrazione matematica utilizzando Claude, uno dei sistemi di intelligenza artificiale più diffusi e utilizzati al mondo. E detta così sembra che possa bastare, ma se leggete regolarmente questo blog, sapete già che la storia che vi apprestate a leggere è un po' più complessa di così. Per esempio l'articolo in cui si racconta di questa dimostrazione, a suo modo epocale, è scritto a quattro mani con Francesco Zamponi, che, come vedremo a breve, fa parte di questa storia già da diversi anni.

Esperimenti nel Paese delle Meraviglie

Coppola Editore, editore del sud, ha in catalogo nella collana de I fiammiferi, una serie di piccoli libercoli estremamente tascabili (dimensioni: 6.5x13), una raccolta di Racconti matematici di Lewis Carroll che, in effetti, sono una selezione dei racconti di A tangled tale, motivo per il quale non li ho acquistati quando con mia sorella siamo passati dallo stand dell'editore nel corso di Bookpride 2026. Mia sorella, invece, si è lasciata affascinare da tre libriccini di chiara ispirazione carrolliana: Drink me, Eat me e Regina di cuori.
I tre libriccini contengono in totale 25 racconti, più o meno equamente divisi tra ognuno di loro, che ricadono dentro il cappello di Human + AI, una serie di testi realizzati utilizzando l'intelligenza artificiale, come spiegato nella scheda di Corti circuiti.
Non avendo letto altri libri di questa serie a parte i tre di ispirazione carrolliana non posso confrontarmi con altri generi e altri romanzi, ma nel caso del Paese delle meraviglie, pur se ciascun racconto non dispiace, nel complesso siamo ben lontani dallo spirito matematico e surreale di Lewis Carroll e questo nonostante l'accreditato intervento (come curatore) di Maurizio Vicedomini, capoeditor della piccola casa editrice.
Se i pochi What if... presenti hanno un senso in quanto, appunto, storie ipotetiche ambientate nel Paese delle meraviglie, gli altri racconti sembrano avere più delle atmosfere da favola che non quelle dei due romanzi originali. I migliori, a mio giudizio, sono quelli che sembrano contenere spunti simili (se non forse ispirati) a quelli dei film di Tim Burton, come per esempio un paio dii racconti contenuti in Drink me e un altro paio in Eat me. Questi due, poi, sono i due libercoli più efficaci, per altro graditi proprio in quest'ordine, mentre Regina di cuori ho fatto un po' fatica a... digerirlo. Quest'ultimo volume ha fornito una versione troppo poco macchiettistica e lontana dalla Regina di cuori di Carroll per riuscirmi gradita e forse, per apprezzarne i racconti (anche quelli degli altri due volumetti) bisognerebbe essere digiuni sia di Carroll sia del Paese delle meraviglie e di Attraverso lo specchio.
Oltre a mancare, poi, gli stimoli e gli spunti logico-matematici presenti nelle opere originali, i volumi presentano una evidente discrepanza tra i nomi e le caratterizzazioni dei personaggi. In particolare la Lepre, ora Bisestile, ora Marzolina, a volte è la padrona del tempo, altre lo è il Cappellaio, che ha diversi nomi al pari della Regina di cuori.
Sicuramente tutto perdonabile, considerando che sono di produzione A.I., ma forse non un prodotto per estimatori di Alice e dei suoi compagni d'avventura.

Ombre di sogni di stelle

Devo essere onesto: il titolo del romanzo non mi aveva attirato tanto, ma per fortuna ho dato un'occhiata alla quarta di copertina. E il mio occhio è caduto su uno dei protagonisti del romanzo: Alan Turing. Certo, non quello vero, ma un suo clone del 2236, ma questo comunque basta per spingermi ad acquistare il libro di Antonella Mecenero. La scrittrice, molto attiva in particolare nel genere giallo, utilizza Turing per proporre una riflessione sull'intelligenza artificiale in particolare, tema piuttosto di attualità, ma anche su altri temi non meno importanti, come lo sfruttamento di altri esseri viventi.
D'altra partre la clonazione umana in questo lonatno futuro è illegale, così come la costruzione di intelligenze artificiali. E' concesso, ad alcuni laboratori di clonazione, lo sviluppo, per chi se lo può permettere, di parti di ricambio del corpo, così come l'uso di robot dedicati a compiti specifici.
Questo intreccio di divieti crea, dunque, un legame tra il clone di Alan Turing, risvegliatosi dopo una sera di primavera del 1952, prima di affrontare il famoso processo in cui verrà riconosciuto colpevole di omosessualità (per farla breve) e il robot Hal, ovvero un'avanzata intelligenza artificiale del futuro, che ha deciso di utilizzare un clone del grande matematico britannico per risolvere un problema strettamente correlato alle specificità delle I.A. del XXIII secolo.

Agenti del caos

Nel preprint Agents of Chaos un gruppo di ricercatori ha studiato alcuni agenti di intelligenza artificale dotati di memoria persisente, account e-mail, accesso a Discord, file system e shell di comando. Ciò che i ricercatori hanno scoperto è qualcosa che va ben oltre i problemi noti con i bias generalmente introdotti nei modelli linguistici usuali:

I comportamenti osservati includono conformità non autorizzata con soggetti non proprietari, divulgazione di informazioni sensibili, esecuzione di azioni distruttive a livello di sistema, condizioni di denial-of-service, consumo incontrollato di risorse, vulnerabilità di spoofing dell'identità, propagazione tra agenti di pratiche non sicure e acquisizione parziale del sistema. In diversi casi, gli agenti hanno segnalato il completamento di un'attività, mentre lo stato del sistema sottostante contraddiceva tali segnalazioni.

I risultati dei ricercatori mostrano, quindi, l'esistenza di vulnerabilità potenzialmente pericolose per la privacy dei cittadini e la sicurezza più in generale. Secondo il gruppo di ricercatori tali vulnerabilità dovrebbero essere prese urgentemente in considerazione da politici, giuristi e ricercatori in generale.
Se consideriamo che si fa sempre più largo l'idea di affidare molti controlli delicati proprio alle IA, la questione risulta particolarmente delicata, ma non è detto che, ricercatori pubblici a parte, si sentirà una vera esigenza di affrontarla. E come risultato si rischia di piangere quando i buoi saranno usciti dal recinto.

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Immagine d'apertura generata con Copilot

Il paradosso di Moravec

Dopo il racconto dell'edizione 2025 del congresso VITE, organizzato dall'INAF e dedicato alle nuove tecnologie, abbiamo iniziato su EduINAF la pubblicazione di una serie di articoli di approfondimento sulla tematica che prendono spunto proprio da alcuni degli interventi più interessanti. In particolare il primo articolo ufficiale di questa minisere è l'intervista realizzata da Livia Giacomini ad Antonio Lieto, esperto di "intelligenza artificiale". All'interno dell'intervista Lieto cita un interessante paradosso "cognitivo", noto come paradosso di Moravec.
Il paradosso venne espresso nel 1988 da Hans Moravec in Mind Children:

(...) è relativamente facile far sì che i computer mostrino prestazioni da adulto nei test di intelligenza o nel gioco della dama, ed è difficile o impossibile dare loro le capacità di un bambino di un anno quando si tratta di percezione e mobilità.

Un blocco note con Copilot

In A tangled tale di Lewis Carroll, il nodo 4 non aveva alcuna illustrazione abbinata, così era sorto il problema di torvarne o realizzarne una appositamente. Avendo Copilot installato di default sul nuovo smartphone, ho pensato bene di usarlo allo scopo. Per arrivare a un risultato per me apprezzabile, però, sono passato attraverso passi successivi. Il primo è partito da questo messaggio:

Vorrei che generassi un'immagine in cui una mano tiene un blocchetto per gli appunti e sopra sono segnate una serie di croci e cerchi posti su 3 colonne.

che era più o meno quello che dovevano fare le due protagoniste del nodo. Il risultato prodotto è stato questo:

Scienza take away #15: ottobre-novembre 2025

Ed è puntualmente arrivato, come ogni 14 del mese, il Carnevale della Matematica, giunto alla 191.ma edizione ospitata su MaddMaths!. Come al solito sono presente anche io e, come da tradizione di Scienza take away, in questo post andrò a realizzare un recap delle cose scientifiche non matematiche uscite in questo stesso arco di tempo. Devo dire che, in effetti, di cose scientifiche da segnalare, almeno da DropSea, non ce ne sono poi tante, visto che alcuni dei post astronomici usciti nell'ultimo mese erano a tema cosmologico, e quindi perfetti per il Carnevale!
Prima di concentrarci sui post, però, lasciatemi segnalare la nuova edizione del Carnevale della Matematica dal vivo che si terrà a Milano il 21 e il 22 novembre presso il Museo Nazionale della Scienza e della Tecnologia. So già cosa state per fare ma vi anticipo che no, non sarò tra i relatori (ancora non so se riuscitò a essere tra il pubblico), soprattutto perché ho letto l'e-mail della "chiamata alle armi" del buon Roberto Natalini quando era ormai troppo tardi per proporre alcunché...
Magari sarà per una prossima occasione (sperando di essere meno distratto!).
E ora, via alla scienza!

Mantenere il giudizio

Post aggiornato dopo la sua prima pubblicazione con la sistemazione del codice html.

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Partiamo dal fondo di questo articolo: a supporto della tesi sostenuta nel resto del testo si utilizza un influencer di destra che, per dare oggettività alla sua opinione, fa valutare la faccenda a Chat GPT, in pratica delegando a una rete neurale, che per sua definizione matematica non è oggettiva a causa della presenza dei bias, il giudizio morale ed etico. Esattamente ciò che Norbert Wiener, come raccontato nella recensione di Topolino #3608, temeva di piu'.

Comunque sulla faccenda mi trovo d'accordo con Roberto Saviano.

Le grandi domande della vita: Il mahjong e la combinatoria

Il post che state per leggere sarebbe potuto entrare tranquillamente dentro la serie dei Rompicapi, ma a ispirare la sua stesura è stato un libro, che peraltro ha poco a che fare con il mahjong, Bisesto di Andrea Vismara. Uno dei personaggi del romanzo è ossessionato da questo gioco, in particolare dalla sua variante come solitario. Nella sua ossessione, il personaggio in questione si pone un paio di domande che, nel contesto del romanzo, risultano folli, ma se le estraiamo risultano particolarmente interessanti:

Perché non si può giocare due volte la stessa partita? (...) E chi mi assicura che tutte le partite siano realmente risolvibili?

In effetti queste domande se le sono poste diversi ricercatori nel campo della matematica, in particolare dei giochi combinatori, e dell'informatica e, in un certo senso, hanno adottato un approccio non molto diverso da quello del personaggio ideato da Vismara, ma solo un po' più raffinato. Infatti il personaggio letterario si è stampato tutti gli screenshot di tutti isolitari che ha giocato nel corso degli anni, mentre i ricercatori hanno fatto compiere qualcosa di simile al computer, che ha esaminato, dopo opportuna matematizzazione del problema, tutte le possibili configurazioni. Andiamo, però, con ordine raccontando qualcosa sul gioco stesso.

Matematica, lezione 39: Agenti intelligenti

Con mio grande stupore, Pierluigi Vellucci riesce a essere molto efficace nel raccontare il tema degli agenti intelligenti, che è in parte legato all'intelligenza artificiale, ma non solo. In realtà i modelli dietro gli agenti intelligenti sono sostanzialmente quelli che cercano di studiare la dinamica delle opinioni e come esse si diffondono e si modificano all'interno di un gruppo. Sono dinamiche piuttosto interessanti, al di là dell'efficacia dei modelli stessi, perché, per esempio, ben spiegano come mai all'interno di un gruppo alcune opinioni attecchiscono meglio di altre, o fanno comprendere meglio quanto sia difficile riuscire a convincere un gruppo di persone che un dato ragionamento è errato. O quanto sia difficile riuscire a uscire da un gruppo fortemente uniformato, come potrebbe essere una setta. O un social network.
In questo senso, oltre alla parte di matematica pura, che di fatto è sempre quella delle reti neurali (o del modello di Ising, che tanto è lo stesso), ho apprezzato anche la citazione musicale finale tratta dalla colonna sonora di Matrix.

Domande a una AI

Presentiamo un caso di studio di caso di una conversazione con il chatbot basato sull'intelligenza artificiale ChatGPT. Abbiamo chiesto al chatbot di rispondere a una domanda di fisica di base che sarà familiare alla maggior parte degli insegnanti di fisica: "Un orsacchiotto viene lanciato in aria. Qual è la sua accelerazione nel punto più alto?" Le risposte del chatbot, sebbene linguisticamente piuttosto avanzate, erano inaffidabili nella loro correttezza e spesso piene di contraddizioni. Abbiamo quindi tentato di impegnarci in un dialogo socratico con il chatbot per risolvere gli errori e le contraddizioni, ma con scarso successo. Abbiamo scoperto che ChatGPT non è ancora abbastanza buono da essere utilizzato come strumento di cheating per gli studenti di fisica o come tutor di fisica. Tuttavia, lo abbiamo trovato abbastanza affidabile nel generare risposte errate su cui gli insegnanti di fisica potrebbero allenare la valutazione delle risposte degli studenti.

Matematica, lezione 34: Intelligenza artificiale

Il tema dell'intelligenza artificiale è decisamente uno di quelli maggiormente "sulla bocca di tutti" nell'ultimo periodo, in particolare grazie alle sue molte applicazioni online sempre più diffuse e pubblicizzate. Per cui non deve stupire che anche la collana Matematica, in particolare nella sua prima estensione, abbia deciso di occuparsi del tema. E il curatore, Maurizio Codogno, ha assegnato il compito ad Andrea Mercuri, che aveva già affrontato l'algebra lineare.
In questo caso il compito è, se vogliamo, anche più complesso, visto che per rendere efficace il volumetto e la sua lettura a un pubblico quanto più ampio possibile, bisogna riuscire a integrare elementi di divulgazione che attenuino la parte più formale. E Mercuri, dopo un'ottima introduzione storica, oserei dire che riesce nell'intento, nonostante la grande quantità di formule matematiche presenti. Il matematico, infatti, riesce a far passare sia la complessità della disciplina, ma anche le difficoltà che sono avvenute nel corso degli anni e come alcune di queste sono state risolte, mentre altre, come per esempio la possibilità di creare una rete neurale generalista, sono ancora piuttosto lontane dal concludersi. E non nascondo che è stato molto utile anche per me nel momento nella scrittura dei contenuti dedicati ai Premi Nobel 2024, su tutti il video della serie Disney Comics&Science.

La parola al bardo: Lo scorpione e le verruche

E dopo la puntata dedicata alla fisica dello sculettare, il secondo appuntamento con la serie dedicata ai testi generati con l'ausilio dell'intelligenza artificiale, di stampo squisitamente ironico, si concentra sull'improbabile legame tra le verruche e gli scorpioni.
L'idea è ispirata da un commento un po' assurdo giunto su EduINAF e non pubblicato che mette insieme le verruche, appunto, e il segno zodiacale dello scorpione. Solo che a Gemini (l'ex-Google Bard) ho suggerito di fare la connessione con lo scorpione, quello vero. Ne è nata una leggenda metropolitana fino a ora inesistente (nel senso che non ne ho sentito parlare), con tanto di debunking al seguito. Spero che questo nuovo episodio sia di vostro gradimento e ricordate: nulla di quanto scritto qui sotto (che ho leggermente modificato) va preso sul serio, a parte gli argomenti che smontano l'uso improprio degli scorpioni!

La parola al bardo: La fisica dello sculettare

Gemini, precedentemente noto come Bard, è la rete neurale chattatoria di Google. E mi è venuto in mente di sperimentare un po' con lui sulla scrittura, in questo caso di tipo scientifico, su un argomento che potrebbe essere da Improbable Research. Così ho chiesto al buon Gemini un articolo scientifico sulla fisica dello sculettare: trovavo divertente produrre qualcosa dalla forma seriosa incentrata su una attività tutto sommato banale e piuttosto diffusa negli esseri umani. Come al solito, a fronte di un primo risultato, è possibile consultare tutte le bozze prodotte e alla fine scegliere il testo preferito. In questo caso ho optato per quello che conteneva un minimo di riferimenti alla fisica. Inoltre anche l'immagine è stata "artificialmente" generata grazie a NightCafe.
Direi, quindi: buona lettura e buon divertimento!

Perso nello spazio e nel tempo

Erano qualcosa come una decina d'anni che non prendevo la penna in mano per scrivere in versi. E poi qualche giorno fa mi sono ritrovato a buttare giù una poesia, su un quadernetto, ma, forse per via degli esperimenti con Suno che sto facendo in questo periodo (essenzialmente con la traduzione di alcune delle mie vecchie poesie), ho scritto direttamente in inglese. E ne è uscito Lost in space and time, che ho poi trasformato in un pezzo metal e che potete ascoltare su Suno.
Il tema della canzone è la solitudine, come intuibile già dal titolo, ma per svilupparlo ho utilizzato immagini astronomiche e scientifiche. E quindi, come per qualunque altra canzone di qualunque altro artista, andiamo a esaminarne il testo (anche se in questo caso è più uno spiegarlo, avendolo scritto io stesso!). Tecnicamente abbiamo una intro e una chiusura, entrambe di due versi, e poi tre terzine, in cui il primo verso è identico, I'm lost in space and time, mentre gli altri due declinano la solitudine essenzialmente in due modi, uno classico, nel senso di essere soli senza nessuno intorno, e l'altro in qualche modo ancora più profondo, in cui ci si sente soli anche in compagnia.
I versi del primo genere sono abbastanza semplici e chiari. Si inizia con

I'm lost behind the stars

Di cosa parla il test di Turing

Era da diverso tempo che non scrivevo nulla su Turing. Poi l'astrografica dedicata al gioco dell'imitazione mi ha spinto a cercare qualche fonte ispirativa, trovando alla fine questo articolo di Bernardo Gonçalves uscito l'anno scorso su Nature, e che provvedo a tradurvi.

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Il matematico Alan Turing ha proposto che le macchine un giorno saranno in grado di pensare e comportarsi come gli umani. Questa visione fu messa in discussione dal neurochirurgo Geoffrey Jefferson, che per esempio sostenne che le macchine non potevano essere classificate come in grado di pensare fino a che non avessero padroneggiato il linguaggio e scritto un sonetto.
Per rispondere a queste obiezioni, nel 1950 Turing sviluppò un testo per esplorare la capacità di una macchina di mostrare comportamenti apparentemente intelligenti, suggerendo al contempo il suo concetto matematico dell'imitazione basato sul calcolo universale. La sua questione scientifica era se un individuo di un qualche genere poteva imitare stereotipi di un individuo di un altro genere.
Vedere il test di Turing dalla prospettiva dei suoi caposaldi o del suo uso improprio da parte del pubblico fa perdere il punto della sua argomentazione. Così come le idee sul significato dell'universo erano un tempo staccate dalla Terra, Turing cerò di espandere il significato del "pensare" e staccarlo dall'antropocentrismo che contribuisce alla visione umana sia della società che della natura.
E' importante sviluppare sviluppare parametri per il controllo pubblico dell'intelligenza artificiale generativa, ma anche avere una prospettiva storica. Oggi viviamo in uno dei molti possibili futuri di Turing, in cui le macchine possono passare per quello che non sono. Turing aveva buone ragioni per sperare in alcuni di questi futuri, ma invitava l'umanità a evitarne altri.