Questo ci dice che, al netto dei racconti leggendari intorno alla sua scoperta, un corpo immerso in un liquido riceve una spinta verso l'alto pari al peso del volume del liquido spostato. In termini matematici, detta \(S\) la spinta di Archimede, \(V\) il volume del liquido spostato (e quindi anche il volume immerso dell'oggetto), \(\rho_l\) la densità del liquido, la formula per calcolare la spinta è semplicemente \[S = g \rho_l V\] dove \(g\) è l'accelerazione di gravità.
Sulla questione di secchiello piccolo dentro secchiello grande mi sono già espresso nel post del Rompicapo: le procedure portate avanti da Hugh sono, nella migliore delle ipotesi, un po' superficiali.
La parte più interessante è quella legata all'aumento di livello dell'acqua quando vi si immerge un oggetto. Prendiamo in considerazione una formula abbastanza banale: il volume di un oggetto è, di base, il prodotto tra l'area di base e la sua altezza: \[V = A \cdot h\] Questo vuol dire che maggiore è la superficie del liquido in cui stiamo immergendo l'oggetto, nello specifico un'asta come nell'esperimento mentale di Balbus, minore sarà la differenza di livello tra il prima e il dopo nel nostro liquido. D'altra parte, da un punto di vista strettamente matematico, l'altezza guadagnata dal liquido sarebbe da considerarsi una forma indeterminata del tipo \(\infty \cdot 0\), visto che lo spessore dell'asta lo dovremmo considerare trascurabile sia rispetto al lago (o oceano) sia rispetto alla lunghezza dell'asta stessa. Inoltre, anche ammettendo un'asta infinita, il nostro lago (o oceano) non potrebbe essere infinito, anche perché se lo fosse, allora il suo livello non potrebbe mai alzarsi anche immergendo dentro il lago (o oceano) un oggetto di dimensioni infinite (diciamo che lo potremmo considerare una versione acquea dell'hotel infinito di Hilbert!).
Il punto chiave in tutto questo è che stiamo parlando comunque di situazioni che hanno senso in virtù dei loro vincoli fisici, come appunto gravità e dimensioni finite. In quest'ottica è un po' un peccato che nessuno, nelle risposte a Carroll, abbia sottolineato questo fatto, che in qualche modo mi sembra sia sfuggito anche allo stesso scrittore e matematico.
Cose che succedono quando cerchi di trovare paradossi nella fisica classica (pensate quanto Carroll sarebbe andato a nozze con la quantistica, invece!).
Ora l'appuntamento, prima dell'inizio del gran finale, è con il terzo rompicapo del nodo 9, come sempre presto su questi schermi!
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