Da alcuni mesi ho iniziato a seguirlo su YouTube, dove propone interessanti video in cui risolve gli enigmi de La Settimana Enigmistica, rivista con la quale collabora, e degli stimolanti giochi matematici all'interno del TGiochiMatematici, una serie di video aperiodica. Era da un po' che volevo occuparmi dei giochi che propone in questa serie e alla fine ho colto la classica palla al balzo fornita dall'edizione #24 per scriverci su due righe e realizzare contestualmente un video, che troverete alla fine del post.
Il quesito è abbastanza semplice: trovare un metodo per realizzare velocemente le moltiplicazioni per 11 con altri numeri a due cifre e, soprattutto, spiegarlo. Come potete immaginare, non mi sono limitato alle moltiplicazioni di 11 con le sole due cifre. Procediamo.
L'idea è abbastanza semplice e discende in maniera naturale dal metodo standard che ci insegnano alle elementari per portare a termine il calcolo su carta delle moltiplicazioni a due o più cifre incolonnate. Se ci fermiamo un attimo a osservare in particolare le moltiplicazioni per 11, notiamo che il numero da 3 cifre che è il risultato dell'operazione è formato in questo modo: la prima cifra coincide con la prima cifra del numero originale, la terza cifra coincide con la seconda cifra del numero originale, mentre la seconda cifra è data dalla loro somma. Facciamo, però, un esempio: \[26 \times 11 = 286\] Se, però, abbiamo come moltiplicando 74, il risultato diventa \[74 \times 11 = 814\] e questo perché \(7 + 4 = 11\), per cui la cifra delle centinaia va aumentata di 1, quello che è alle decine del risultato che abbiamo appena trovato (tra l'altro tutto ciò è anche molto ben spiegato con diversi esempi un video di Enzo Mardegan).
Per giustificare formalmente l'efficacia di questo risultato basta scrivere un qualunque numero a due cifre nel modo seguente: \[a \cdot 10 + b\] dove \(a\) è la cifra delle decine e \(b\) la cifra delle unità. A questo punto, scrivendo anche 11 nello stesso modo, dopo un semplice conticino otteniamo: \[(a \cdot 10 + b) \cdot (10 + 1) = a \cdot 100 + a \cdot 10 + b \cdot 10 + b =\] \[= a \cdot 100 + (a + b) \cdot 10 + b\] Possiamo, però, generalizzare a un numero di \(n\) cifre adottando il formalismo della sommatoria (o delle serie): \[\sum_{i=1}^n a_i \cdot 10^{i-1}\] In questo caso ho adottato la convenzione \(a_1\) difra delle unità, \(a_2\) cifra delle decine, \(a_3\) cifra delle centinaia e così via. Ovviamente avrei potuto adottare una qualsiasi altra convenzione. Definito ciò, eseguiamo il prodotto per 11: \[\sum_{i=1}^n a_i \cdot 10^{i-1} \cdot (10 + 1) = \sum_{i=1}^n \left (a_i \cdot 10^i + a_i \cdot 10^{i-1} \right )\] Se sviluppiamo il prodotto, troviamo che: \[a_n \cdot 10^n + a_n \cdot^{n-1} + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + a_{n-1} \cdot 10^{n-2} + \cdots\] \[\cdots + a_2 \cdot 10^2 + a_2 \cdot 10 + a_1 \cdot 10 + a_1\] Come si può notare, a parte la prima e l'ultima cifra, le altre possono essere accoppiate in una somma di due termini per una data potenza di 10. Per esempio \((a_2 + a_1) \cdot 10\). E questo completa una più o meno formale dimostrazione del metodo semplificato di moltiplicare per 11.
E' possibile che in futuro tornerò con altri post e altri video che prendono spunto dai giochi matematici proposti da Dendi e, pur se su YouTube li inserirò all'interno dei video dei Rompicapi di Alice, in ogni caso qui sul blog finiranno tra i Paralipomeni, a meno che questi giochi non siano carrolliani.
Vi lascio, ora, al video:
L'immagine in apertura è stata realizzata utilizzando gli strumenti di Canva, incluso il "text-to-image generator" ivi integrato.
Nessun commento:
Posta un commento