Breve storia del pi greco / La sequenza di Fibonacci

Come da tradizione, arriva la nuova puntata della breve storia del pi greco. Come già la settima, anche questa ottava parte guadagna un titolo visto il tema delle notizie pi greche del Carnevale della Matematica #148 è l'uso della sequenza di Fibonacci per il calcolo del valore del $\pi$.

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da New Adventures of Queen Victoria di Pab Sungenis

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A quanto pare anche Leonardo Fibonacci si cimentò, nel 1220, con il calcolo del pi greco, ottenendo come risultato 3.141818. Non sono riuscito a scovare il metodo usato dal matematico italiano, ma esistono un paio formule basate sui numeri della successione di Fibonacci che permettono di calcolare le cifre di $\pi$.
Partiamo dalla seguente formula di Leonhard Euler (vi ricordo che il nostro propose nella sua carriera diverse formule che permettevano di calcolare pi greco) scritta intorno al 1738 \[\frac{\pi}{4} = \arctan 1 = \arctan \frac{1}{2} + \arctan \frac{1}{3}\] \[\frac{\pi}{4} = \arctan \frac{1}{2} + \arctan \frac{1}{5} + \arctan \frac{1}{8}\] \[= \arctan \frac{1}{2} + \arctan \frac{1}{5} + \arctan \frac{1}{13} + \arctan \frac{1}{21}\] \[= \arctan \frac{1}{2} + \arctan \frac{1}{5} + \arctan \frac{1}{13} + \arctan \frac{1}{34} + \arctan \frac{1}{55}\] Quello che si può notare è che ciascun numero nelle frazioni all'interno delle arcotangenti appartiene alla serie di Fibonacci. A questo punto, detto $F_n$ l'$n$-simo numero di Fibonacci, otteniamo la seguente formula per il calcolo (esatto) di $\pi$: \[\frac{\pi}{4} = \sum_{n=1}^\infty \arctan \frac{1}{F_{2n + 1}}\] La seconda formula, invece, usa il concetto di limite (che possiamo spiegare come "quello che fa una data fuzione quando si avvicina a un punto in cui non dovrebbe essere possibile calcolarne il valore"): \[\pi = \lim_{m \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{6 \log (F_1 \cdots F_m)}{\log lcm (F_1, \dots, F_m)}}\] dove $lcm$ è least common multiple, ovvero il minimo comune multiplo.
In effetti dando una scorsa all'articolo di Yuri Matiyasevich e Richard Guy, risulta abbastanza evidente come questa formula sia figlia di quella precedente.

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da xkcd di Randall Munroe

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La questione delle arcotangenti dei numeri di Fibonacci venne posta per la prima volta nel 1936 in uno dei problemi pubblicati sul numero 9 del volume 43 di The American Mathematical Monthly. La richiesta era di mostrare che $\arctan 1$ poteva essere scritta come somma di arcotangenti in cui gli argomenti sono numeri della serie di Fibonacci.
La soluzione arriva due anni dopo, sempre su The American Mathematical Monthly ad opera di M.A. Heaslet. Sulle arcotangenti dei reciproci dei numeri di Fibonacci, invece, la dimostrazione da parte di L. Carlitz della formula \[\arctan \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\varphi F_{n+1} + F_{n}} = \sum_{n=1}^\infty \arctan \frac{1}{F_{2n+1}}\]

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da FoxTrot di Bill Amend

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Edouard Lucas, matematico francese della seconda metà del XIX secolo, è stato il primo a usare il nome di sequenza di Fibonacci per la serie di numeri che risolve il famoso problema dei conigli proposto nel Practica Geometriae. Oltre a studiare la sequenza, ne ha anche proposto una sua variazione: la sequenza di Lucas si basa sulla stessa regola di quella di Fibonacci (un qualunque numero è la somma dei due numeri precedenti), ma non inizia con 1 e 1, bensì con 2 e 1.
Non è il caso di parlare approfonditamente dei numeri di Lucas, ma basti sapere che questi sono legati da una serie di relazioni. Alcune relazioni "avanzate" coinvolgono le arcotangenti, e quindi potete immaginare dove sto andando a parare: è possibile utilizzare i numeri di Lucas per trovare una successione con cui calcolare pi greco: \[\frac{\pi}{4} = \arctan \frac{1}{3} + 2 \sum_{k=2}^\infty \arctan \frac{1}{L_{2k}}\] Altre formule che permettono di calcolare il valore di pi greco usando i numeri di Fibonacci sono state proposte sul Fibonacci Quarterly da Guy Guillot nel 1977: \[\frac{\pi}{2} = \sum_{n=1}^\infty \arctan \frac{2 F_{2n+1}}{F_{2n} \cdot F_{2n+2}}\] \[\frac{\pi}{2} = \sum_{n=1}^\infty \arccos \frac{F_{2n} F_{2n+2}}{F_{2n} \cdot F_{2n+2}+2}\] \[\frac{\pi}{2} = \sum_{n=1}^\infty \arcsin \frac{2 F_{2n+1}}{F_{2n} \cdot F_{2n+2}+2}\] L'ultima formula che coinvolge i numeri di Fibonacci è di Dario Castellanos, e troviamo anche il numero aureo, $\varphi$: \[\frac{\pi}{4} = \sqrt{5} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n F_{2n+1}}{(2n+1) \varphi^{2(2n+1)}}\]

Fibonacci formula for pi
Bailey, D. H., Plouffe, S. M., Borwein, P. B., & Borwein, J. M. (1997). The quest for pi. The Mathematical Intelligencer, 19, 50-56. doi:10.1007/BF03024340 (pdf)
Matiyasevich, Y. V., & Guy, R. K. (1986). A new formula for π. The American mathematical monthly, 93(8), 631-635. doi:10.1080/00029890.1986.11971904
Lehmer, D. H., Ayres, F., Court, N. A., Gaines, R. E., & Goormaghtigh, R. (1936). Problems for Solution: 3801-3806. The American Mathematical Monthly, 43(9), 580-581. doi:10.2307/2301416
Lehmer, D. H., & Heaslet, M. A. (1938). 3801. The American Mathematical Monthly, 45(9), 636-637. doi:10.2307/2302821
A. P. Hillman (edited by), Elementary Problems and Solutions, Fibonacci Quarterly 10 (1972) pages 329-336
Guy Guillot, Problems, Fibonacci Quarterly 15 (1977) vol 15, pages 232 and 257
Dario Castellanos, Rapidly Converging Expansions With Fibonacci Coefficients, Fibonacci Quarterly 24 (1986) pages 70-82
Michael Hauss, Fibonacci, Lucas and Central Factorial Numbers, and $\pi$, Fibonacci Quarterly 32 (1994) pages 395-396
Ron Knott, Pi and the Fibonacci Numbers