La sezione aurea

Realizzato e pubblicato ormai quasi 11 anni fa da Cristóbal Vila, Nature by Numbers mostra come la matematica sia presente in tutta la natura. E la base di tutto sembra essere un piccolo, semplice numero, $\varphi$, il numero aureo. Il suo valore è di poco superiore a 3/2 e può essere scritto in maniera molto semplice con la seguente formula \[\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\] E' anche legato alla serie di Fibonacci, come abbiamo visto in varie occasioni, e può essere ritrovato un po' d'appertutto: è diventato, in effetti, sinonimo di perfezione, grazie alla sua presenza nel mondo dell'arte. Opere di pittori, ma anche in architettura, sia dell'antichità sia degli evoluti XX e XXI secolo si basano sul numero aureo. La sua definizione si trova negli Elementi di Euclide:

Si dice che una retta è divisa in media ed estrema ragione quando la lunghezza della linea totale sta a quella della parte maggiore come quella della parte maggiore sta a quella della minore.

La definizione geometrica qui sopra può essere facilmente visualizzata con la seguente immagine:

che viene tradotta dalla proporzione \[\frac{x}{1} = \frac{1}{x-1}\] Da questa proporzione è possibile ricavare un'equazione di secondo grado \[x^2-x-1=0\] la cui soluzione positiva è \[x = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\] ovvero il numero aureo che, fermandoci alle prime quattro cifre decimali, è 1.6180.
Il numero aureo è, a sua volta, legato con la successione di Fibonacci: vediamo come. calcoliamo il rapporto tra un numero della serie e il suo precedente. Partiamo dal terzo numero: 2/1 = 2.
Il rapporto non è significativo, ma proviamo con l'ottavo numero della serie, il 21: 21/13 = 1.6153.
Siamo di fronte a una stima per difetto. Vediamo cosa succede con il nono numero, il 34: 34/21 = 1.6190.
Ora la stima è per eccesso e si prosegue così, con un'alternanza tra eccesso e difetto, che si avvicina sempre di più al valore della sezione aurea.

Il numero aureo, che come abbiamo visto è definito da una proporzione, ci permette di definire varie figure geometriche, come triangoli, rettangoli, pentagoni, tutti aurei, ma anche spirali, fino ad arrivare a scoperte relativamente moderne come i frattali. E forse l'elemento più sconvolgente rispetto al ritrovcarlo nell'arte (moderna o classica che sia ha poca importanza) è ritrovarlo in natura, visto che le galassie a spirale sembrano seguire proprio lo sviluppo matematico della spirale aurea, o ritornando sulla Terra, le coste, in particolare i fiordi scandinavi, presentano una struttura frattale, così come i cavoli (in particolare i cavoli romani), mentre la distribuzione dei semi di girasole all'interno della corolla segue la serie di Fibonacci.
Ed è un viaggio di scoperta meraviglioso che, con incredibile ritardo, ho affrontato con la lettura de La sezion aurea di Fernando Corbalan, uscito nel 2011 nella collana Mondo Matematico ed edito e distribuito in edicola da RBA Italia.
Lettura veloce e appassionante, cerca di essere il più divulgativo possibile. Il compito è indubbiamente reso più semplice grazie all'ampio uso di figure, per quanto di stampo geometrico. Inoltre sono presenti nel testo piccoli box di approfondimento che arricchiscono la lettura e che possono essere letti in qualunque momento, o anche ignorati completamente. I box, però, forse molto più del testo principale, forniscono spunti di approfondimento, piccoli assaggi che hanno l'evidente intento di stuzzicare il lettore. E forse sono, nel complesso, la parte meglio riuscita del libro. Il testo, infatti, sopravvive nell'eterna difficoltà tra un certo necessario rigore scientifico e la trasformazione in termini divulgativi di una materia sì tecnica, ma che tutto sommato si presta abbastanza bene per essere raccontata.