Carnevale della matematica #107

Mentre l'edizione dell'anno scorso non era un numero primo (il 95 è divisibile per 5, per esempio!), il 107 è il 28.mo numero primo della lista. Insieme con il prossimo, il 109, formano una coppia di primi gemelli e di conseguenza il 107 è anche un primo di Chen. Se poi aggiungiamo 2 alle altre due cifre del 107 otteniamo 127 e 307 entrambi primi, così come il 701, ovvero il 107 ribaltato! Inoltre mettendo 107 nella formula $2^p - 1$ al posto della $p$ si ottiene un numero primo di Mersenne. 107 è anche un numero primo sicuro, ovvero un numero della forma $2p +1$ con $p$ primo.
Altre curiosità sul 107:
Nel 1983 Allan Brady dimostrò che il massimo numero di passi che una macchina di Turing a quattro stati è in grado di fare su un nastro bianco prima di fermarsi è 107.
Non esiste alcun intero $N$ tale che $N!$ ha esattamente 107 zeri. Lo stesso lo si può dire anche per 3, 31 e 43 (tutti primi).
Modi di ottenere 107:

1. $107 = 2 + 3 \cdot 5 \cdot 7 = 2 \cdot 3 \cdot 5 + 7 \cdot 11$
2. $107 = (1^1 \cdot 2^2 \cdot 3^3) - 1$

Definito $A_n = 1!+3!+5!+...+(2n-1)!$, allora 107 è un divisore di $A_{53}$ e di tutti gli $A_n$ con $n \geq 53$.
I numeri di Lucas, così chiamati in onore del matematico francese Édouard Lucas, sono una sequenza molto simile a quella dei numeri di Fibonacci definita dalla seguente relazione: \[v_1 = 1, \; v_2 =3 \; v_{n+1} = v_n + v_{n+1}\] Molti numeri di Lucas non sono primi, ma "LuCaS" lo è in un senso un po' più... chimico! Se infatti sommiamo tra loro i numeri atomici di lutezio (LU), calcio (Ca) e zolfo (S) otteniamo... $71 + 20 + 16 = 107$!
Infine 107 è il più piccolo numero primo $p$ per cui la $p$-esima cifra di $\pi$ è uno zero: ed entriamo, così, nel tema dell'edizione, il pi day!