Lo spaziotempo che cambia

Vista la ricorrenza di ieri per cui avevo in bozza alcuni appunti che mi sembrava un po' di sprecare nonostante tutto, ho rinviato a oggi l'articolo abbinato alla seconda conferenza che ho tenuto a Parabiago all'interno del corso di autoaggiornamento dei professori del liceo Cavalleri. Ieri mi sono occupato di onde gravitazionali, con una presentazione basata sul lavoro svolto per la notte dei ricercatori e su un paio di articoli usciti su Edu INAF), e successivamente di gravità quantistica, che è l'oggetto dell'articolo odierno.

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Abbiamo più volte visto che, nonostante i successi predittivi del Modello Standard, la meccanica quantistica presenta un bel po' di problemi concettuali che la rendono matematicamente incompatibile con la gravità, non solo con il modello classico descritto dalla legge di gravitazione universale si Isaac Newton, ma anche con la teoria della relatività generale di Albert Einstein.
La scoperta di tale incompatibilità viene dalla fredda russia e nasce da un errore.

Da Lev a Matvei

Bronstein

Il più grande fisico teorico russo probabilmente non solo del XX secolo è stato Lev Davidovich Landau. Mente brillante e sempre attiva, come per ogni buon teorico, durante i primi vagiti della meccanica quantistica immaginò che il campo elettromagnetico diventasse mal definito a causa dei quanti. Espresse questa idea in un articolo⁽¹⁾, scritto con Rudolf Peierls, cui fu lo stesso Niels Bohr, insieme con Léon Rosenfeld, a rispondere⁽²⁾ mostrando come i campi come quello elettromagnetico restano ben definiti anche se si prendono in considerazione i quanti.
L'articolo di Bohr spinse Landau ad abbandonare la sua idea, ma Matvei Petrovich Bronstein, amico di Landau, applicò il metodo di Bohr al campo gravitazionale, scoprendo che quest'ultimo non è ben definito in un punto se si applicano i quanti⁽³⁾. Vediamo come si può giungere a questa conclusione nel modo più semplice possibile. Partiamo dal principio di indeterminazione di Heisenberg, o detto in maniera più corretta dalle relazioni di Heisenberg: \[\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}\] Queste relazioni implicano l'impossibilità di conoscere contemporaneamente e con la stessa alta precisione sia la posizione sia la quantità di moto (o la velocità, conoscendo la massa) di una data particella. Detto usando le parole di Carlo Rovelli⁽⁸⁾, se riusciamo a determinare la posizione della particella, questa scapperà via a grande velocità, ovvero avrà un'energia molto alta. Poiché secondo la relatività anche l'energia (grazie alla relazione $E=mc^2$) è in grado di curvare lo spaziotempo, allora la particella in fuga genererà nella posizione che abbiamo rilevato una curvatura dello spaziotempo tanto più grande quanto più precisa sarà la misura della posizione, fino al limite di creare un vero e proprio buco nero, che assorbirebbe in sé la regione dello spazio tempo in cui si trovava la particella.
Poiché ciò non avviene, evidentemente non è possibile suddividere all'infinito lo spaziotempo, allo stesso modo con cui Zenone suggerisce nel famoso paradosso di Achille e della tartaruga, ma deve esistere una dimensione minima oltre la quale non è possibile scendere. Questa è determinata da Bronstein nella lunghezza di Planck: \[L_P = \sqrt{\frac{\hbar \cdot G}{c^3}}\] scoperta da Max Planck nel 1899, ma associata alla gravità, in particolare quella quantistica, proprio da Bronstein⁽³⁾. In qualche modo, seguendo anche la linea di pensiero di Bronstein, la lunghezza di Planck riunisce tre ambiti molto importanti per l'universo: la gravità con $G$, costante di gravitazione universale; la relatività con $c$, velocità della luce; la meccanica quantistica con $\hbar$; costante di Planck.
La gravità quantistica emerge solo a una scala comparabile con quella della lunghezza di Planck (o se vogliamo si potrebbe dire che la descrizione delle forze fondamentali con un'unica espressione è possibile solo a dimensioni comparabili con la lunghezza di Planck). Con queste considerazioni Bronstein dà il via alla ricerca sulla gravità quantistica che, però, subirà un'immediata interruzione a causa del regime sovietico di Stalin, che riteneva lui e il suo amico Landau nemici della patria: mentre il secondo riuscì a cavarsela in qualche modo, Bronstein venne giustiziato il 18 febbraio del 1938: aveva 32 anni.

La schiuma di Wheeler

Uno dei fisici che più di tutti ha contribuito allo sviluppo della gravità quantistica, anche se non dal punto di vista strettamente tecnico, è stato John Wheeler, probabilmente grazie al fatto di aver collaborato con i due fisici che meglio hanno rappresentato le due sponde della contesa, Bohr e Einstein. Wheeler ha un'idea precisamente quantistica dello spaziotempo, come una struttura dalla topologia cangiante in funzione della scala a cui lo si guarda. Un ottimo modo per descrivere questa idea è leggere la sua descrizione:

Non conosco un'immagine migliore di quella di guardare l'oceano dall'alto di un aereoplano: sembra essere una superficie perfettamente liscia. Man mano che ti avvicini, vedi le onde, e mentre i avvicini ancora vedi le onde che si infrangono e vedi la schiuma. Penso che debba essere lo stesso nella geometria dello spazio, per tutta la nostra esperienza quotidiana, la geometria dello spazio è liscia e piatta. Ma mentre lo esaminiamo più da vicino, deve mostrare oscillazioni. E ancora più da vicino, deve mostrare la schiuma, una struttura simile alla schiuma. E questo significa che sotto a distanze piccolissime questa idea del prima e del dopo perde davvero di significato.⁽¹⁰⁾

Dal punto di vista matematico, Wheeler insieme con Bryce DeWitt, il fisico che provò a proseguire il lavoro di Hugh Everett, produsse una famosa equazione, detta appunto equazione di Wheeler-DeWitt: l'aspetto più sconcertante di questa equazione è l'assenza del tempo⁽⁸⁾. \[\hat{\mathcal{H}}\Psi=\left(-\,\mathcal{G}_{ijkl}\frac{\delta^2}{\delta\hat{h}_{ij}\delta\hat{h}_{kl}}-\frac{\sqrt{h}}{2\kappa} \tilde{R}\right)\Psi = 0\]

Arrivano i loop!

L'assenza del tempo nell'equazione rende i fisici un po' titubanti (giusto per usare un eufemismo), visto che in queste condizioni così disagevoli risulta ai più difficile trovare solizioni all'equazione. Eppure Lee Smolin e Ted Jacobson ci riescono⁽⁶⁾: dopo che il fisico indiano Abhay Ashtekar⁽⁵⁾, ispirato da Amitabha Sen⁽⁴⁾, aveva riformulato in termini più "semplici" l'equazione di Wheeler-DeWitt, Smolin e Jacobson riescono a trovare delle soluzioni all'equazione valide lungo una linea chiusa di spaziotempo.
La descrizione dello spaziotempo quantizzato che emerge dalle soluzioni di Smolin e Jacobson è, dunque, quella di un continuo intersecarsi di linee chiuse non molto differente dall'idea della schiuma spaziotemporale di Wheeler⁽⁸⁾: nasce ufficialmente la teoria della gravità quantistica a loop⁽⁷⁾.
Fondamentalmente la teoria non è molto distante dalla classica teoria dei grafi: la struttura dello spaziotempo è infatti costituita da nodi e linee (o link) che lo ricoprono completamente. Le proprietà fisiche dello spaziotempo, come hanno mostrato Jorge Pullin e Jerzy Lewandowski, risiedono soprattutto nei nodi, la cui presenza fornisce un volume allo spaziotempo, mentre i link sono l'equivalente delle linee di Faraday ma per il campo gravitazionale⁽⁸⁾. Ciascun nodo, allora, occuperà un certo volume di spazio e una misura della quantizzazione dello spaziotempo può essere fornita dall'area delle superfici di separazione di ciascuno di questi volumi, data dalla formula: \[A = 8 \pi L_P^2 \sqrt{j(j+1)}\] dove $j$ è un numero che può assumere o valori interi positivi o semi-interi positivi⁽⁸⁾.
Nella gravità a loop abbiamo così degli atomi di spazio, realmente indivisibili come gli atomi di Democrito e lo spaziotempo può essere visto come una rete, o meglio ancora come una schiuma di spin.

Sulla non esistenza del tempo

La quantizzazione dello spaziotempo ha una conseguenza concettuale e in qualche modo controintuitiva fondamentale, che per provare a comprendere cercherò di avvicinarla da lontano.
Ispirato dall'ultima conferenza pubblica di Einstein, Hugh Everett fornì un'interpretazione della meccanica quantistica secondo la quale per comprendere al meglio un esperimento, si sarebbe dovuto considerare l'equazione d'onda totale, costituita dalla "somma" (o "sovrapposizione") delle funzioni d'onda dell'esperimento, degli sperimentatori e di tutto ciò che li circonda.
Allo stesso modo nel momento in cui esaminiamo una porzione del reticolo di spin dello spaziotempo a loop, nella funzione d'onda che lo descrive dobbiamo tenere conto non solo del nodo e dei link, ma anche degli stessi spazio e tempo, che fanno così parte integrante del sistema: in questo modo non sono più costituenti fondamentali dello spaziotempo quantistico, ma emergono solo come effetto dell'azione del campo gravitazionale⁽⁸⁾.
Il punto che va dunque sottolineato è che la gravità a loop non quantizza il campo gravitazionale, ma lo spaziotempo stesso, togliendo di senso alla distinzione tra spazio e tempo, che diventano così dimensioni con la stessa dignità, nessuna delle due con una qualche particolarità rispetto all'altra. Possiamo vedere la cosa anche in questo modo: prendiamo una particella che si sposta all'interno di un volume di spaziotempo. Per descrivere il suo moto all'interno di questo volume dobbiamo ritagliare una "scatola" di spaziotempo e le equazioni che descriveranno tale moto descriveranno in realtà tutta la scatola di spaziotempo e non solo la particella che si muove⁽⁸⁾.
Altra conseguenza della quantizzazione dello spaziotempo è la scomparsa delle divergenze: poiché nella gravità a loop esistono delle dimensioni minime di spazio sotto le quali è impossibile andare, ovvero lo spazio non è continuo, gli integrali della meccanica quantistica che danno valore infinito non divergono più, poiché tale divergenza è una diretta conseguenza della divisibilità dello spazio in infinitesimi sempre più piccoli⁽⁸⁾.
Altro elemento in qualche modo a favore della teoria della gravità a loop risiede nella sua flessibilità. Quello che accade nello spaziotempo può essere descritto sia utilizzando rappresentazioni tipo integrali di Feynman, utilizzati nella QED, quindi dei grafi che descrivono le possibili interazioni tra i nodi, sia con utilizzando dei reticoli di spin, utilizzati nella QCD: le due rappresentazioni sono assolutamente equivalenti e possono essere indifferentemente utilizzate per descrivere quella che più in generale viene chiamata schiuma di spin⁽⁸⁾.

Il tempo termico

Se il tempo non ha più un ruolo fondamentale a livello microscopico, esso però assume un ruolo impoirtante nella vita quotidiana. La teoria della gravità a loop in qualche modo ci spinge a chiederci come il tempo così come lo conosciamo emerge dalla schiuma di spin. La risposta sta nella termodinamica e nel tempo termico.
Basta fare una semplice osservazione: se filmiamo un pendolo che oscilla e rivediamo il film al contrario non riusciamo a distinguere quale dei due è il dritto e quale il rovescio, ma se filmiamo un sasso che sale verso l'alto e ricade a terra e lo mandiamo al contrario in realtà esiste un fotogramma che ci permette di stabilire quale sia il dritto e quale il rovescio: l'istante in cui il sasso cade a terra. In quel momento il sasso sta trasformando la sua energia cinetica in energia termica per riscaldare il terreno su cui è caduto. Questo suggerisce l'esistenza di un legame forte tra la temperatura e il tempo e in particolare l'idea che il tempo emerga all'interno dei processi irreversibili, ovvero quelli in cui viene dissipato calore, energia.
Dal punto di vista matematico ciò vuol dire che si passa da una descrizione precisa della realtà a una fatta di medie: il tempo emerge quando si compie una media su tutti gli stati microscopici, allo stesso modo in cui la temperatura è una media su tutte le velocità delle singole particelle che compongono un gas⁽⁸⁾.

Controllo sperimentale

La teoria della gravità a loop, oltre a fornire una serie di risposte matematiche interessanti, per poter essere considerata come una possibile descrizione della realtà ha anche bisogno di essere verificata. Il problema in teorie che si aggiungono ai modelli standard ampiamente verificati sperimentalmente è proprio quello di fornire delle direzioni sperimentali verso cui guardare. E nel caso della teoria a loop l'indicazione viene dai teorici Abhay Ashtekar, Ivan Agullo e William Nelson che in un articolo del settembre 2012 suggeriscono di guardare la radiazione cosmica di fondo. In particolare le fluttuazioni a grande angolo dovrebbero risultare superiori rispetto a quelle previste dalla teoria standard che non tiene conto dei quanti di spaziotempo e che invece sarebbero facilmente spiegabili con la teoria a loop⁽⁹⁾.
Al momento non sembra ancora esserci quella sensibilità sperimentale per testare la teoria, ma non è nemmeno detto che le ipotesi che i tre teorici hanno preso in considerazione per i loro calcoli siano corrette o fisicamente sensate.

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1. Landau, L., & Peierls, R. (1931). Erweiterung des Unbestimmtheitsprinzips für die relativistische Quantentheorie. Zeitschrift für Physik, 69(1-2), 56-69. doi10.1007/BF01391513 ↩
2. Bohr, N., & Rosenfeld, L. (1933). Zur frage der messbarkeit der elektromagnetischen feldgrössen. Kongelige Danske Videnskabernes Selskab, Matematisk-Fysiske Meddelelser, 12(8). (pdf) ↩
3. Un buon punto di partenza per comprendere e approfondire le idee e gli articoli di Bronstein è Gorelik, G. (1992). The first steps of quantum gravity and the Planck values. Studies in the history of general relativity, 3, 364-79. (pdf | html) ↩↩
4. Sen, A. (1982). Gravity as a spin system. Phys. Lett., B, 119(1-3), 89-91. doi:10.1016/0370-2693(82)90250-7 ↩
5. A Ashtekar, New hamiltonian formulation for general relativity, Phys Rev D 36 (1987) 1587. ↩
6. T Jacobson, L Smolin, Non perturbative quantum geometries, Nucl Phys B 299 (1988) 295. ↩
7. Rovelli, C., Smolin, L. (1988). Knot theory and quantum gravity. Physical Review Letters, 61(10), 1155. doi:10.1103/PhysRevLett.61.1155 ↩
8. Rovelli, C (2014), La realtà non è come ci appare, Raffaello Cortina Editore
   Vedi anche l'articolo
   Rovelli, C. (2000). Notes for a brief history of quantum gravity. arXiv:gr-qc/0006061
   che presenta una bibliografia più dettagliata con gli articoli di ricerca, oltre a fare uno sviluppo parallelo della gravità a loop con la teoria delle stringhe. ↩↩↩↩↩↩↩↩↩↩
9. Agullo, I., Ashtekar, A., & Nelson, W. (2012). Quantum gravity extension of the inflationary scenario. Physical review letters, 109(25), 251301. doi:10.1103/PhysRevLett.109.251301 (arXiv) ↩
10. I don't know any better image for it than the look of the ocean as one comes down from a plane high above the ocean, that seems to be a perfectly smooth surface. You come down closer, you see the waves, and as you get still closer you see the waves breaking and you see foam. I think it must be the same in the geometry of space, for all our everyday experience, the geometry of space is smooth and flat. But as we examine it more closely, it must show oscillations. And still more closely, it must show foam, a foam-like structure. And that means that down at the very smallest distances, this idea of before and after really lose their meaning. ↩