Ritratti: Leonardo Fibonacci

Fibonacci - via commons

Leonardo figlio di Bonacci nacque in un non meglio precisato giorno del 1170, cioé 850 anni fa, da qualche parte nella Repubblica di Pisa. Essendo figlio di Bonacci è diventato oggi noto come Leonardo Fibonacci. Tale appellativo sembrerebbe risalire al 1506, anche se viene comunemente fatto risalire a Guillaume Libri che lo giustificò proprio come forma contratta di filius Bonacci.
Al di là dell'origine del nome, Fibonacci è considerato come il più talentuoso e importante matematico del Medio Evo. E questa importanza è ribadita dal fatto che è proprio Fibonacci ad aver introdotto in Europa le cifre arabe grazie al suo meritorio Liber Abaci. Il titolo è quasi un contrappasso, visto che cerca di introdurre un nuovo sistema di contare che voleva sostituire, peraltro con successo come intuito dallo stesso Fibonacci, l'uso dell'abaco.
Il suo contatto con le cifre arabe avvenne grazie al suo lavoro nell'attività paterna: Guglielmo Bonacci era un mercante con interessi nel Mediterraneo, per cui portava il figlio con se in giro per l'Europa e non solo. Fu proprio nel nord Africa, in particolare a Bugia in Algeria, che il giovane Leonardo entrò in contatto con le cifre arabe. Grazie alla sua attività di mercante ebbe modo di approfondire la conoscenza del sistema di posizionamento, comprendendone le enormi potenzialità rispetto ai sistemi in uso, come quello romano. Nel sistema di posizionamento, infatti, indipendentemente dalla base numerica, non ha importanza solo il valore rivestito dal singolo simbolo numerico, ma anche la sua posizione. Ad esempio $1$, da solo, vale "uno", mentre accompagnato da uno $0$ dietro, vale "dieci", $10$. In questo senso il numero $0$, anch'esso introdotto da Fibonacci, simbolo del "niente", diventa di importanza fondamentale nel sistema posizionale, perché permette di aggiungere o togliere valore a una serie di cifre.
Ad ogni buon conto, sempre sul Liber Abaci, si trova il risultato per cui è famoso: il problema della proliferazione dei conigli.

Una famiglia infinita

Quante coppie di conigli avremo a fine anno se cominciamo con una coppia che genera ogni mese un'altra coppia che a sua volta procrea dopo due mesi di vita?

Questo è all'incirca il quesito cui prova a rispondere Fibonacci nel suo Liber Abaci, un testo rivoluzionario anche per via di un approccio che oggi definiremmo di matematica ricreativa.
La soluzione finale, che Fibonacci trova attraverso una tabella, è una serie numerica: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... e così via in cui ciascun elemento della successione è la somma dei due precedenti, a parte i primi due.
La serie presenta alcune caratteristiche decisamente molto interessanti su cui vale la pena soffermarsi. Ad esempio sommiamo tutti i numeri della serie dal primo fino al 10.mo: $$1+1+2+3+5+8+13+21+34+55=143=11 \cdot 13$$ Proviamo ora a fare la somma di altri dieci numeri, partendo da 21: $$21+34+55+\cdots+1597=4147=11 \cdot 377$$ Ovvero, generalizzando, la somma di dieci numeri consecutivi della serie di Fibonacci è un multiplo di 11. Il moltiplicatore che accompagna 11 è, a sua volta, un componente della successione, in particolare il numero che occupa il settimo posto nella serie di dieci che abbiamo estratto.
Torniamo un attimo alla somma dei primi dieci numeri della successione. Il risultato è 143 = 144 - 1, con 144 il 12.mo numero della successione. In generale la somma di $n$ numeri della serie di Fibonacci coincide con il termine nel posto $n+2$ ma diminuito di 1. O in termini matematici $$\sum_{i=1}^n a_i = a_{n+2} - 1$$

Terne pitagoriche

Un altra proprietà curiosa è legata alle terne pitagoriche. Queste sono tre numeri interi che costituiscono l'ipotenusa e i cateti di un triangolo rettangolo. Ora, se prendiamo quattro termini consecutivi della successione di Fibonacci, siamo in grado di ricavare una terna pitagorica. Prendiamo, come esempio 3, 5, 8, 13 e compiamo le seguenti operazioni: $$3 \cdot 13 = 39$$ $$2 \cdot (5 \cdot 8) = 80$$ $$5^2 + 8^2 = 89$$ e (89, 80, 39) è una terna pitagorica: provare (con la calcolatrice) per credere!

Un guadagno fittizio

Tra i numeri della serie, infine, esiste un'interessante relazione che fornisce un diverso punto di vista su uno dei più classici rompicapo di scomposizione e ricomposizione.
La formula è presto detta: $$a_n^2 - a_{n-1} \cdot a_{n+1} = (-1)^{n-1}$$ Prendiamo, ad esempio, 5, 8 e 13. Applicando la formula di cui sopra, scopriamo molto facilmente che $5 \cdot 13 = 8^2 + 1 = 64 + 1 = 65$.
Ora se prendiamo un quadrato di lato 8 e lo scomponiamo in modo tale che le sue parti rimesse insieme formino un rettangolo di lati 5 e 13, avremo una figura di area pari a 65. Sappiamo già che la ricomposizione della figura non è perfetta e che lascia dei piccolissimi vuoti nelle linee di congiunzione tra le quattro figure in cui abbiamo scomposto il quadrato originale. Sono differenze trascurabili per ciascuna figura, ma se sommate insieme coincidono con un'area unitaria.
L'ultima proprietà è legata al triangolo di Tartaglia (o triangolo di Pascal) $$1$$ $$1 \; 1$$ $$1 \; 2 \; 1$$ $$1 \; 3 \; 3 \; 1$$ $$1 \; 4 \; 6 \; 4 \; 1$$ $$1 \; 5 \; 10 \; 10 \;5 \; 1$$ Se ridisponiamo il triangolo nel modo che segue, ecco che la relazione con la serie di Fibonacci diventa evidente!