I paralipomeni di Alice: Un incontro sul fiume

Mentre mettevo a posto gli articoli per il Carnevale della Matematica #153, mi sono reso conto che vi devo un Paralipomeno, quello dedicato a Un incontro sul fiume. In quell'articolo vi proponevo due rompicapi di distanze tratti dal secondo volume dei Passatempi matematici di Sam Loyd, libricino curato da Martin Gardner. Il primo chiedeva di determinare la larghezza di un fiume conoscendo i punti di incontro di due traghetti che viaggiano a velocità differenti: 720 iarde rispetto alla sponda più vicina all'andata e 400 iarde al ritorno.

I traghetti

In questo caso vi propongo la risoluzione dal punto di vista della fisica:
Prima di tutto fissiamo i dati a nostra conoscenza: $d_1$ è la distanza dalla prima sponda, 720 iarde; $d_2$ è la distanza dalla seconda sponda, 400 iarde; quindi la larghezza totale del fiume sarà $d = d_1 + x + d_2$. Inoltre i due traghetti restano fermi sulla sponda per un tempo $\Delta t$ necessario a far salire e scendere i passeggeri che è uguale per entrambi. Il nostro problema è, dunque, quello di determinare il valore di questa $x$.
Prendiamo il tempo impiegato dal traghetto più veloce per raggiungere il primo punto di incontro: $$t_{1A} = \frac{d_1}{v_A}$$ Il tempo impiegato dal secondo traghetto sarà invece: $$t_{1B} = \frac{d_2 + x}{v_B}$$ Questi due tempi, però, sono uguali, per cui avremo una prima equazione: $$\frac{d_1}{v_A} = \frac{d_2 + x}{v_B}$$ Andiamo, ora, a vedere il tempo impiegato dal traghetto più veloce per raggiungere il secondo punto di incontro: $$t_{2A} = \frac{2d_2 + x}{v_A} + \Delta t$$ Il tempo impiegato dal secondo traghetto sarà invece: $$t_{2B} = \frac{2d_1 + x}{v_B} + \Delta t$$ Il motivo del 2 di fronte a $d_1$ e $d_2$ è presto detto: entrambi i traghetti percorreranno i tratti $d_1$ e $d_2$ due volte prima di incontrarsi la seconda volta.
Anche in questo caso i due tempi sono identici, portandoci a una seconda equazione: $$\frac{2d_2 + x}{v_A} = \frac{2d_1 + x}{v_B}$$ Apparentemente siamo nella situazione in cui abbiamo due equazioni in tre incognite, ma possiamo uscire facilmente dal "vicolo cieco" ricavando il rapporto tra le velocità da entrambe le equazioni: $$\frac{v_A}{v_B} = \frac{d_1}{d_2+x} = \frac{2d_2 + x}{2d_1 + x}$$ ottenendo così un'unica equazione di secondo grado per $x$.
Risolvendola si ottiene un valore di 640 iarde e quindi di 1760 iarde come larghezza totale del fiume.

L'albergo

Il secondo rompicapo chiedeva, dati una serie di casi differenti, di determinare la distanza tra un albergo e la cittadina di Piketown nel West. Mentre per il testo
vi rimando a quanto scritto nel Rompicapo di Alice, per la soluzione opterò per quella matematica, già di per se più complessa rispetto al caso precedente (potete quindi immaginare anche quanto più complessa quella dal punto di vista della fisica):

Se $x$ è la distanza dall'albergo alla stazione di ristoro, allora l'uomo percorre $x-4$ miglia mentre la diligenza sosta per 30 minuti. La velocità dell'uomo, quindi, è di $2x - 8$ miglia orarie. Poiché l'uomo percorre 4 miglia mentre la diligenza percorre $x$ miglia, possiamo esprimere la velocità della diligenza come $$\frac{x(x-4)}{2}$$ Si possono ora impostare due equazioni in $x$ e $y$, dove $y$ è la distanza della stazione di ristoro da Piketown. Nella prima equazione, il tempo che l'uomo impiega a percorrere l'intera distanza meno un miglio è uguagliato al tempo che impiega la diligenza a percorrere l'intera distanza più trenta minuti. Nella seconda equazione, il tempo che impiega l'uomo a camminare dalla stazione a Piketown, più quindici minuti, è uguagliato al tempo che impiega la diligenza a percorrere lo stesso tratto, più trenta minuti. Dal sistema di equazioni si ricava per $x$ un valore di 6 e per $y$ un valore di 3, perciò la distanza dall'albergo a Piketown è di 9 miglia. La diligenza viaggia alla velocità di 6 miglia orarie, e l'uomo viaggia a 4 miglia orarie.