venerdì 5 aprile 2024

Paralipomeni di Alice: Il demone e la formica

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Consideriamo questa una edizione speciale dei Paralipomeni di Alice, visto che non solo vi propone un problema, ma anche una sua possibile soluzione. In particolare vi propongo la soluzione del problema n.8 di Maurizio Codogno presente nella sezione dei problemi del terzo volume della raccolta Matematica. Questo il testo del problema:
Una formica si trova a un estremo di una sbarra lunga un metro e percorre un centimetro al secondo. Però un demone vuole divertirsi con la formica, e alla fine di ogni secondo allunga di un altro metro la sbarra. L'allungamento è tuttavia uniforma: quindi alla fine del primo secondo la formica passerà dal trovarsi a un centimetro dal punto di partenza su una sbarra lunga un metro al trovarsi a due centimetri dal punto di partenza su una sbarra lunga due metri. Dopo il secondo secondo (scusate il gioco di parole) la sbarra diventa lunga tre metri, e la formica, che intanto era arrivata al terzo centimetro, si trova a quattro centimetri e mezzo dal punto di partenza. La povera formica riuscirà mai ad arrivare al fondo della sbarra?
Secondo Maurizio la risposta è: si, solo che ci vorrebbe un tempo superiore all'età dell'universo. Più che la risposta, a lasciarmi perplesso è stato il modo in cui è arrivato alla soluzione. Proviamo a ragionare da fisici e osserviamo il problema dal punto di vista dell'estremo opposto al punto di partenza, quello che la formica vorrebbe raggiungere.
Da quel punto vedremo l'altro estremo della sbarra allontanarsi da noi con una velocità \(v_\alpha = 1 m/s\). Il pedice \(\alpha\) è dovuto al fatto che è con questa lettera che si indica generalmente l'allungamento termico.
La formica, invece, si muove verso di noi con velocità \(v_f = 1 cm/s = 1/100 cm/s\), ma si sposta su una sbarra in allungamento, quindi è un po' come se si muovesse contromano lungo una striscia mobile, come una di quelle che si trovano per esempio in alcuni aereoporti. Facendo i conti alla fine la formica si allontana da noi con una velocità di \(99/100 m/s\) o detta in altri termini \(v'_f = - 99/100 m/s\).
E' un po' come per l'espansione dell'universo, e questo indipendentemente dal fatto che sia accelerata o meno: anche se una galassia si muove verso di noi, questa è comunque destinata ad allontanarsi e quindi a sparire dai nostri cieli, se la sua velocità di allontanamento è inferiore a quella di espansione, mentre si avvicinerà a noi se la sua velocità è inferiore.
Se invece poniamo il problema in una situazione giusto un po' più realistica, ovvero la sbarra sulla superficie di un pianeta dotato di gravità ma ignorando che il tasso di allungamento è oggettivamente eccessivo, la formica prima o poi arriverà all'altro estremo, semplicemente perché prima o poi l'estremo in allontanamento rispetto alla formica raggiungerà l'estremo di partenza della nostra piccola amica, chiudendo così la sbarra in una linea chiusa. Ovviamente il tempo dipenderà dalla posizione iniziale e dalla direzione di allungamento.
Immagine di apertura generata con Canva

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