Paralipomeni di Alice: Inseguimenti in pista

Sul 22.mo volume della serie Matematica della Gazzetta dello Sport, Maurizio Codogno, curatore della collana, propone un interessante problema di "corse". Vi propongo il testo in maniera integrale:

Marco e Mirco corrono su un ciruito a velocità costanti ma diverse tra di loro, partendo dallo stesso punto, ma percorrendo la pista in direzioni opposte, e si incontrano dopo 1 minuto. Poi provano a percorrere la pista nella stessa direzione, sempre partendo da uno stesso punto, e stavolta si incontrano dopo un'ora. Qual è il rapporto tra le loro velocità?

Ovviamente per siolvere il problema bisogna partire comunque dalla classica formula che definisce la velocità di un oggetto: \[v = \frac{s}{t}\] da cui la così detta equazione del moto che sarà quella che utilizzeremo per risolvere il quesito: \[s = v \cdot t\] Il punto importante è capire quali sono le differenze tra il primo e il secondo caso. Nel primo caso i due amici si incontrano in un qualunque punto poco prima o poco dopo la metà del circuito (il poco prima o il poco dopo dipende dai punti di vista), quindi la somma dei percorsi compiuti da entrambi è uguale alla lunghezza del circuito: chiamiamola \(L\).
Nel secondo caso, quando il più veloce doppia il più lento, ci viene in aiuto il gergo della Formula 1, motivo per cui propongo il problema questa settimana, visto che domenica si correrà il Gran Premio d'Ungheria della stagione 2024. Infatti in classifica, in una situazione del genere, si dice che il distacco tra il primo pilota e quello doppiato è di 1 giro. Questo ci suggerisce che non è la somma dei percorsi, ma la differenza a essere pari a \(L\).
A questo punto, dette \(v \geq w\) le due velocità, avremo il seguente sistema di equazioni: \[(v + w) \cdot 1 = L\] \[(v - w) \cdot 60 = L\] Da qui è facile ricavare il rapporto tra le due velocità, che è poi quel che ci chiede il problema: \[\frac{v}{w} = \frac{61}{59}\] che conferma l'intuizione iniziale di due velocità non molto diverse tra loro. Però è qui che arriva la parte interessante, altrimenti non ve lo avrei proposto!
Come ho scritto, questo fine settimana ci sarà il Gran Premio d'Ungheria. La scheda ufficiale del circuito recita che la sua lunghezza è pari a 4.381 km. Quindi, come potete immaginare, mi sono divertito a cercare le due velocità che permettono le prestazioni riportate nel problema. Scoprendo dei risultati a dir poco fantascientifici (per delle auto da corsa, ovviamente): \[w = 129.24 km/h\] \[v = 133.62 km/h\] che sono velocità effettivamente plausibili. Possiamo poi fare un ulteriore piccolo conto. Supponiamo che il più lento viaggi a 200 km/h. La velocità del più veloce sarebbe poco sopra i 206 km/h. che è di 1 km/h superiore alla velocità media tenuta da Lewis Hamilton nel giro record della pista risalente al 2020. C'è però da dire che con una velocità minima di 200 km/h la lunghezza della pista, per avere gli stessi risultati indicati nel problema, dovrebbe essere di 6.78 km. Nell'attuale calendario di Formula 1, l'unico circuito paragonabile a questo risultato è quello di Spa-Francorchamps, sede del mitico Gran Premio del Belgio (che tra l'altro seguirà proprio a quello dell'Ungheria), dove però le medie di velocità dovrebbero essere "leggermente" più alte rispetto all'evento di questo fine settimana.
Ad ogni buon conto: per una volta un problema di matematica con numeri "buoni" non è così implausibile (e solo perché Maurizio non ha scritto che i due sono podisti)!