I rompicapi di Alice: Un calcudoku di gruppo

Tutti conosciamo il Sudoku: è un rompicapo basato sui numeri, una variazione sui classici quadrati magici. Ogni riga e colonna del quadrato 9x9, infatti, deve essere riempito con cifre da 1 a 9. Inoltre il quadrato è suddiviso in 9 quadrati 3x3, ciascuno dei quali deve contenere solo le cifre da 1 a 9, senza ripetizioni. Nel 2004 Tetsuya Miyamoto propose un rompicapo molto simile al Sudoku, oggi noto come Calcudoku.
Questo nuovo rompicapo, introdotto da Miyamoto, un insegnante, per rendere più divertenti e quindi semplici da imparare le operazioni, prende le mosse dal quadrato latino. Prendiamo un quadrato \(n \times n\). La regola è riempire ciascuna casella in modo tale che in ciascuna riga e ciascuna colonna siano presenti solo i numeri da 1 a \(n\) senza ripetizioni: un'estensione del Sudoku, insomma! Miyamoto, però, aggiunse una regola aggiuntiva: la "scacchiera", infatti, viene suddivisa in un certo numero di "gabbie". I numeri da scegliere per ciascuna "gabbia", se sommati tra loro, devono avere come risultato il numero in picco posto in cima alla "gabbia". Prendiamo come esempio il seguente schema 4x4, quindi da riempire con i numeri da 1 a 4:

Prendiamo, per esempio, la cella che prevede 6 come somma. In questo caso i due numeri da inserire sono immediatamente determinati, ovvero 4 e 2, ma non sappiamo in che ordine. Ci viene in aiuto la cella con somma 5, che può essere ottenuto o come somma di 3 e 2 o come somma di 4 e 1. Nel primo caso il numero in posizione (1,1) sarà 4, mentre nel secondo caso sarà 2. Siamo ancora in dubbio. Andiamo, allora, all'ultima riga.
Qui la gabbia con somma 4 può essere riempita solo da 1 e 3, quindi nelle due celle sulla stessa riga andranno 4 e 2. Queste due celle appartengono a una gabbia di 3 celle che in totale ha 10, questo vuol dire che nella terza cella ci andrà 4, il che implica che in posizione (4,4) ci andrà il 2 e quindi nella terza e ultima cella, la (4,3), dovremo mettere 4, e questo per la regoma che non devono esserci ripetizioni nemmeno lungo le colonne.
A questo punto siamo certo che la gabbia 5, proprio a causa della regola di cui sopra, deve contenere 2 e 3, e quindi in posizione (1,1) avremo il 4 e in posizione (2,1) avremo 2.
Non solo! Potremo anche completare la prima riga con tutti i numeri, rispettivamente 1, 2 e 3, e questo perché sappiamo che in posizione (4,4) ci deve essere un 2.
Non proseguo oltre con i ragionamenti e vi presento la soluzione di questo Calcudoku (e lo faccio senza problemi perché non è questo il rompicapo che voglio proporvi da risolvere):

Possiamo ulteriormente complicare la faccenda passando dai numeri usuali dotati dell'usuale operazione di somma a dei particolari insiemi detti... gruppi! Il modo più semplice di vedere la faccenda è con un rompicapo vero da risolvere. In particolare limitiamoci a un Calcudoku 4x4 da riempire con i componenti del gruppo $\mathbb{Z}_4$, che sono i numeri 0, 1, 2, 3 abbinati con una somma che ha la seguente tabella additiva:

A partire da questa tabella additiva, provate a riempire il seguente Calcudoku:

La soluzione, oltre alla fonte dello schema, la pubblicherò non prima di due settimane: state in campana!