Una questione jacobiana

Pur non avendo una storia lunga come quella dell'ultimo teorema di Fermat, la congettura jacobiana risulta particolarmente interessante per diversi motivi. Tale congettura si occupa dei polinomi a più variabili e afferma che se una funzione polinomiale in uno spazio a \(n\) dimesioni ha uno jacobiano costante e non nullo, allora la funzione ammette un'inversa polinomiale.
Il nome della congettura, che richiama il matematico tedesco Carl Gustav Jacob Jacobi, discende proprio dallo jacobiano, o per essere più precisi dal determinante jacobiano della matrice associata alla funzione polinomiale oggetto della congettura stessa. Gli elementi di questa matrice sono costituiti dalle derivate parziali della funzione polinomiale.
La prima formulazione di questa congettura risale al 1884 in un articolo di Ludwig Kraus, che ne fornisce anche una dimostrazione, che però si rivelò errata, nel caso di due dimensioni. La formulazione moderna in \(n\) dimensioni risale a una cinquantina di anni più tardi, il 1939 e porta la firma di Ott-Heinrich Keller.
Non è chiaro chi assegnò tale nome alla congettura. Uno dei primi utilizzi di questo nome risale al 1973 in un articolo di Masayoshi Miyanishi, però secondo Tzuong-Tsieng Moh fu dopo un seminario di Oscar Zariski tenuto alla fine degli anni Sessanta del XX secolo presso la Purdue University che la comunità matematica decise di chiamare tale congettura come congettura jacobiana.
La congettura è fallacemente semplice, ma è risultata decisamente ostica da dimostrare. Il punto della dimostrazione, infatti, non è se esiste una inversa della funzione polinomiale, ma se tale inversa è essa stessa polinomiale. Molte dimostrazioni che hanno attaccato la congettura jacobiana si sono poi rivelate errate, ma è stato anche provato un approccio altrettanto valido della dimostrazione diretta, quello della ricerca dei controesempi. In questo caso uno dei più famosi, datato 1994 e ascrivibile Sergey Pinchuk, mostra come la congettura non vale per il piano reale.
Un altro interessante risultato intorno a questa congettura risale, invece, al 1982 quando Hymann Bass, Edwin Connell e David Wright mostrarono come per dimostrare la congettura è possibile limitarsi a mappe al più di grado 3 (o in altri termini dimostrarla per uno spazio tridimensionale).
Il 20 luglio del 2026 (abbiamo la data precisa perché è indicata nel tweet dell'annuncio) Levent Alpöge ha fornito un controesempio alla congettura in 3 dimensioni, che dunque rende falsa la congettura per tutte le dimensioni dalla 3 in su, lasciando ancora qualche dubbio per il caso bidimensionale.
Se già così il risultato è di quelli epocali, un'ulteriore spinta di interesse la riceve quando si scopre come questo controesempio è stato ottenuto: grazie ai modelli di intelligenza artificiale di Anthropic, quindi quello stesso Claude utilizzato da Giorgio Parisi per dimostrare la validità di un risultato che egli stesso aveva scoperto alcuni decenni prima.
uno degli articoli più interessanti sulla faccenda è quello pubblicato da Terence Tao sul suo blog, dove spiega come sia possibile che una funzione polinomiale con jacobiano costante e non nullo non ammetta un'inversa polinomiale. Anche David Speyer ha esaminato formalmente il controesempio di Alpöge. A questi due post si aggiunge anche una verifica informatica che, di fatto, formalizza definitivamente la questione anche in assenza di preprint o articoli formalmente sottomessi a riviste matematiche.
Vi lascio qui sotto con il video di Paolo Caressa dedicato alla questione della congettura jacobiana.