Paralipomeni di Alice: I due razzi

Dopo il problema del demone e della formica, ripesco un altro problema che mi aveva lasciato perplesso all'interno del volume Funzioni ed equazioni· Il testo di Maurizio Codogno raccontava di due razzi che l'impero di Star Wars lancia uno contro l'altro per dimostrare di essere in grado di colpire un bersaglio in movimento. I dati del problema erano tali per cui era possibile risolverlo senza alcuna conoscenza di balistica, rendendo il problema pressocché assurdo (in pratica i razzi si muovono con una traiettoria a forma di gradino!). E così ho pensato di riproporvi il problema stesso ma raccontando il testo in modo tale che sia più naturale applicare le leggi del moto uniformemente accellerato in due dimensioni. Il testo che segue è quindi una leggera variazione del testo originale:

In una scena del film Star Wars: episodio 42, l'Impero intende mostrare la sua abilità nel colpire bersagli in movimento ad alta velocità. Vengono lanciati due missili da due basi poste a 1400 km l'una dall'altra. I due razzi raggiungono la quota di 10 km (che non è la quota massima) rispettivamente in 30 e 20 secondi. Sapendo che il primo missile ha una velocità di 3700 km/h e il secondo di 2300 km/h, ci sarà collisione tra i due razzi? E dove?

E questo mi sembra un buon punto per dire due parole, o meglio due equazioni sul moto parabolico. Iniziamo dall'equazione del moto orizzontale: \[x = v_x t\] ovvero lo spostamento orizzontale è dato dal prodotto della velocità orizzontale per il tempo trascorso.
Per il moto verticale avremo invece \[y = v_y t - \frac{1}{2} g t^2\] In questo caso si deve sottrarre il contributo dovuto all'accelerazione di gravità, che ovviamente si oppone al moto verticale.
Le due equaioni messe insieme descrivono il moto di un oggetto che si muove all'interno di un campo gravitazionale con velocità \(v\) data dal teorema di Pitagora \[v^2 = v_x^2 + v_y^2\] Non ho tenuto conto delle posizioni iniziali, ma è una semplice ulteriore costante iniziale in entrambe le equazioni.
Con tutti questi elementi non dovrebbe essere troppo complesso risolvere il problema: bisogna cioé determinare le velocità orizzontali e verticali dei due razzi, ricavare il tempo dall'equazione per il moto orizzontale e quindi sostituirlo in quella del moto verticale ottenendo così due funzioni che dipendono da \(x\) e che possiamo mettere a sistema per ottenere come risultato che... i due razzi non collidono! Di fatto l'alzo del secondo razzo è inferiore rispetto a quello del secondo. Forse l'Impero dovrebbe assumere dei balistici più preparati!

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Immagine in apertura generata con Conva