Matematica, lezione 4: Gli insiemi

Dopo il secondo volume sulla logica, Paolo Caressa torna a raccontarci qualcosa sulla teoria degli insiemi, che in realtà è strettamente connessa proprio alla logica.
Questo legame, generalmente, non viene mai raccontato negli usuali programmi scolastici, e anche all'università, a meno di non intraprendere il percorso di studi della matematica, viene raramente approfondito. Il formalismo che conduce il lettore attraverso tutte le pagine è ovviamente quello introdotto nel secondo volume, di cui questo è un ideale completamento. E come quello non ha la pretesa di essere esaustivo (in questo caso agli interessati consiglierei Tutto, e di più di David Foster Wallace), però ci sono alcuni punti decisamente molto interessanti a partire dai due numi tutelari del libro, Giuseppe Peano e Georg Cantor, senza dimenticare quel "rompiscatole" di Kurt Godel. A questi tre grandi matematici non può che aggiungersi a un certo punto anche Ernst Zermelo con i suoi due fondamentali risultati de il teorema della scelta e il teorema del buon ordinamento.
In effetti, nella costruzione logica utilizzata da Caressa, il teorema della scelta viene indicato come assioma, visto che da esso è possibile dimostrare quello del buon ordinamento, ma come lo stesso autore fa notare, se si adotta il buon ordinamento come assioma, da questo discende il teorema della scelta (che poi quest'ultima era la scelta adottata da Cantor nello sviluppo della sua teoria degli insiemi). Questa apparente ambiguità è diretta conseguenza dell'incompletezza della matematica, così come venne dimostrato da Godel.
Come avrete capito proprio questa parte del libro è, almeno dal mio punto di vista, quella più succosa del testo proposto da Caressa, ed è stato, in qualche modo, il motivo per cui ho letto con una certa irrequietezza la prima parte del testo. Devo dire che, però, nel complesso l'ho trovato un ottimo ripasso non solo sulla teoria degli insiemi, ma anche sui metodi di dimostrazione dei teoremi in generale. In questo senso ho trovato ancora una volta un paio di refusi logici evidentemente dovuti a frasi che si sono perse tra le varie versioni. Nell'enunciato di un lemma, per esempio, a un certo punto una congiunzione che, per come è impostato l'enunciato, dovrebbe congiungere due insiemi, alla fine si comporta come se congiungesse due proposizioni, lasciando nel lettore la sensazione che una delle due sia andata, appunto, perduta tra i vari passaggi digitali.
Questo genere di refusi, purtroppo, hanno ricadute anche sulla comprensione del contenuto e per una collana come questa anche uno solo per libro (e fino a ora direi che siamo su questa media) non è esattamente un ottimo spot.
Passiamo, però, alla parte di appendice del testo. Per I maestri della matematica (lo so, il titolo completo è un altro) Sara Zucchini ci racconta qualcosa di Johannes Kepler, latinizzato in Keplero, colui che è stato in grado di migliorare il sistema eliocentrico di Niccolò Copernico. In questo senso il contesto storico, come sempre ben raccontato dalla Zucchini, non è esattamente precisissimo visto che è scomparso il contributo di Rethicus alla diffusione del De Revolutionibus.
Infine per i giochi matematici Maurizio Codogno propone una serie interessante di giochi abbastanza classici ma opportunamente aggiornati nel testo (per i più curiosi mi riferisco ai dilemmi coi cappelli).