Dilemmi coi cappelli

Succede che propongo nelle mie classi un po' di matematica ricreativa: è utile per mantenere l'attenzione della classe, creando lezioni interessanti e con quesiti che migliorano l'utilizzo della logica o che danno delle applicazioni della matematica meno consuete degli esercizi che usualmente si possono trovare sui libri (quindi cose un po' più simili ai quesiti delle tanto vituperate prove invalsi!).
Succede anche che siano i miei studenti a propormi quesiti, come per esempio questo:

Ci sono tre condannati a morte che vengono sistemati uno dietro l'altro con un cappello di colore diverso in testa. Il primo vede i cappelli del secondo e del terzo, il secondo solo quello del terzo e il terzo nessuno. Per potersi salvare, ognuno di loro deve indovinare il colore del cappello che ha in testa, sapendo che in totale, prima che venissero indossati, ci sono 2 cappelli bianchi e 2 cappelli neri. Dei tre a salvarsi è solo il terzo. Perchè?

In realtà, esaminando attentamente il quesito, a salvarsi è il secondo. Il problema è che il mio studente non ricordava correttamente il testo del dilemma:

Tre esploratori vengono catturati e condannati a morte avendo però una possibilità di salvarsi. Vengono messi in fila indiana e a ciascuno viene messo in testa un cappello scelto tra cinque: tre bianchi e due neri.
In questo modo l' ultimo della fila vede il cappello in testa ai primi due, quello in mezzo vede solo il cappello di quello davanti ed il primo non vede niente.
Viene chiesto a l' ultimo della fila di indovinare il colore del proprio cappello; questi risponde "non lo so" e viene giustiziato. Tocca quindi a quello in mezzo che, sentita la risposta del suo compagno, risponde anche egli "non lo so" e viene a sua volta giustiziato.
Tocca infine al primo della fila che, sentite le risposte dei compagni, determina con certezza il colore del proprio cappello e si salva.

Una variazione su questo dilemma è il seguente:

A tre condannati a morte viene data la possibilità di ottenere la grazia a patto che riescano a superare una prova. Il luogo dove si deve svolgere la prova è una stanza con due porte ma senza finestre specchi o altri arredi, fatta eccezione per un tavolino. Una fatti entrare i condannati in questa stanza vengono sistemati sul tavolino cinque cappelli, tre neri e due bianchi, a questo punto uno dei secondini comincia a spiegare ai tre che verranno bendati e condotti uno alla volta di fronte al tavolo e che dovranno prendere un cappello e indossarlo.
Dopo che tutti e tre hanno indossato i cappelli dalla stanza vengono portati via i due restanti, a questo punto i tre vengono sbendati e messi in fila davanti alla seconda porta.
Mentre aspettano di sapere in cosa consiste la prova ognuno dei tre è in grado di vedere i cappelli indossati dagli altri due. Il secondino comincia a spiegare che per ottenere la grazia e quindi la libertà verranno condotti uno alla volta nell'altra stanza e dovranno essere in grado di rispondere alle seguenti domande:

1) di che colore è il tuo cappello?
2) spiega perché sei convinto che questo sia il colore giusto?

Solo chi riuscirà a rispondere verrà ricondotto nella prima stanza e salvato, mentre chi non riuscirà a rispondere sarà subito giustiziato.
Una volta finita la spiegazione il primo viene condotto nella stanza ma non ne fa ritorno, allora anche il secondo viene fatto entrare ma anche lui non fa più ritorno.

A questo punto tu nei panni del terzo dovrai trovare la soluzione alle due risposte sapendo solo che:
- I due che ti hanno preceduto non sono riusciti a salvarsi;
- I cappelli degli altri due erano entrambi neri;
- Nessuno dei tre ha potuto parlarsi;
- Saranno accettate solo risposte che abbiano un fondamento logico, quindi se anche uno fosse riuscito a vedere il proprio cappello non gli servirebbe a molto.

In entrambi i casi la risposta è il cappello più presente all'inizio. Prendiamo l'esempio dei tre bianchi e due neri. In questo caso il primo condannato si può salvare solo se gli altri due hanno un cappello nero, ma non è il caso del dilemma. Quindi, visto che il primo non si è salvato, gli altri due devono avere in testa almeno un cappello bianco. Il problema è che il secondo può essere certo del suo cappello solo se quello davanti è nero, altrimenti no. E visto che il secondo non si salva, allora siamo in uno dei casi di incertezza per il secondo, che coincidono con il cappello bianco del primo!

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Di dilemmi coi cappelli ce ne sono a bizzeffe. Magari, in futuro, ve ne proporrò qualcun altro, ma queste due variazioni sui tre condannati mi fremeva troppo pubblicarle!