Come da tradizione, arriva la nuova puntata della breve storia del pi greco. In particolare questa settima parte guadagna anche un titolo perché è monotematica. Come le sei parti precedenti, anche questa è estratta dalle notizie pi greche del Carnevale della Matematica del pi day, per la precisione il #138.
Il numero di Archimede è presente in moltissime equazioni, alcune delle quali trovano applicazioni pratiche, ma la regina delle equazioni in cui è presente è la meglio nota identità di Eulero:
\[e^{i \pi} +1 =0\]
Ed è proprio a questa equazione che dedico le notizie pi greche di questo 2020.
L'equazione unisce insieme l'unità dei numeri naturali, 1, l'unità dei numeri immaginari, $i$, il numero di Nepero, $e$, e il pi greco.
Nepero, latinizzazione di John Napier, matematico scozzese, oltre che nella matematica, aveva un forte interesse anche nelle arti mistiche. Scrisse, infatti, A plaine discovery of the whole revelation of St John, dove prevedeva che la fine del mondo sarebbe avvenuta tra il 1688 e il 1700. Qualcuno ritiene che praticasse sia l'alchimia sia la negromanzia. Inoltre, stando a quanto racconta il suo discendente Mark Napier, possedeva un ragno nero, che portava sempre con se custodito all'interno di una scatoletta, e un gallo nero, che era in realtà il suo famiglio, il suo assistente magico.
In realtà utilizzava il gallo in una maniera in un certo senso matematica. Quando subiva una ruberia, Napier chiudeva in una stanza i sospettati uno a uno insieme con il gallo e, millantando i poteri magici dell'animale, invitava ciascun indagato ad accarezzare il famiglio, suggerendo che avrebbe infallibilmente identificato il colpevole. In realtà le penne del gallo erano ricoperte di fuliggine. Questo voleva dire che l'unico che non avrebbe toccato il gallo, ovvero il colpevole per paura di essere scoperto, sarebbe stato anche l'unico con le mani pulite!
L'interesse principale di Nepero risiedeva, però, nel cercare un metodo che permettesse di realizzare il più velocemente possibile i calcoli aritmetici più complessi. A questo scopo Napier portò a compimento due piccole invenzioni: i bastoncini o ossi di Nepero, che permettevano di svolgere le moltiplicazioni tra numeri a molte cifre, e i logaritmi.
Questi ultimi furono presentati per la prima volta nel Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio del 1614 e portò una vera e propria rivoluzione nel mondo della matematica. In un lavoro successivo datato 1618, sempre sui logaritmi, troviamo il primo riferimento alla costante che oggi porta il suo nome, e, sebbene la sua effettiva scoperta venga accreditata al matematico svizzero Jacob Bernoulli, che nel 1683 determinò il risultato del seguente limite:
\[\lim_{n \rightarrow \infty} \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n\]
Il secondo ingrediente dell'identità di Eulero è l'unità immaginaria, $i$. La sua storia è, invece, legata alla ricerca delle soluzioni delle equazioni polinomiali.
Uno dei problemi che più interessò i matematici fu, infatti, quello di trovare le soluzioni alle equazioni polinomiali. Tra i matematici più attivi in questo genere di problemi c'è stato l'italiano Gerolamo Cardano. Figlio illegittimo e giocatore d'azzardo, ebbe una vita decisamente ricca e caotica: si ammalò di peste da bambino, ed ebbe alcune difficoltà di impotenza, fino a che non ne guarì. Questo gli permise di sposare Lucia Bandarini, da cui ebbe tre figli, il maggiore dei quali, Giovanni Battista, venne arrestato e condannato a morte per uxoricidio. Nell'ultima parte della sua vita venne arrestato dall'inquisizione con l'accusa di eresia, probabilmente dovuta al fatto che (forse) realizzò l'oroscopo di Gesù.
La sua più grande opera matematica fu l'Ars Magna, trattato del 1545 dove fornì i risultati relativi alle equazioni di terzo e quarto grado. In particolare la formula di Cardano per le equazioni di terzo grado aveva un piccolo inconveniente: con alcune particolari equazioni dava origine a radici quadrate di numeri negativi.
La cosa, a Cardano, non diede particolare fastidio, ma il matematico non approfondì la faccenda più di tanto. La questione, però, venne ripresa nel 1572 da un altro matematico italiano, Rafael Bombelli. Nella sua opera principale, L'algebra, rimasta incompiuta a causa della sua morte prematura (rimasero in forma di manoscritto gli ultimi due dei cinque volumi previsti), Bombelli mostrò come le radici dei numeri negativi, dette quantità silvestri, potevano essere utilizzate proficuamente per determinare la soluzione di un'equazione.
Bombelli diede, dunque, dignità di numero alle radici dei numeri negativi, rinominati successivamente numeri immaginari dal francese René Descartes. Da lì in poi trovarono applicazione in varie equazioni della matematica e della fisica, mostrando anche di avere una ricaduta nella vita di tutti i giorni.
Ciò che, però, ci interessa è il loro legame con la trigonometria, perché è da lì che arriveremo, finalmente, all'identità di Eulero.
La trigonometria è quella branca della matematica che studia i triangoli. I suoi strumenti fondamentali sono le funzioni trigonometriche, attraverso le quali si riesce a descrivere il legame tra gli angoli e i lati di un triangolo.
Trattare con queste funzioni non è esattamente semplice o naturale, però, sotto opportune condizioni, è possibile fornire una rappresentazione di tali funzioni molto più trattabile: lo sviluppo in serie. Questa è una tecnica sviluppata dai matematici, in particolare l'inglese Brook Taylor che si occupò di tale questione in alcuni scritti risalenti al 1715, ma anche altri prima di lui, per determinare un'espressione polinomiale per funzioni non polinomiali, come i logaritmi e, appunto, le funzioni trigonometriche.
In particolare lo sviluppo in serie di Taylor delle funzioni seno e coseno è dato dalle espressioni (di seguito $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot n$):
\[\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots\]
\[\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots\]
Anche per la funzione esponenziale è possibile calcolare uno sviluppo in serie di Taylor:
\[e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots\]
A osservarle con attenzione le tre serie sembrano avere non poco in comune. In particolare sembra che debba esistere un modo per ottenere la serie esponenziale a partire da una combinazione lineare delle serie di seno e coseno. E in effetti, se al posto di $x$ utilizziamo $iz$, dove $i$ è l'unità immaginaria, allora scopriamo che
\[e^{iz} = \cos z + i \sin z\]
A questo punto è quasi fatta: scegliamo un valore particolare per la variabile, ovvero $z=\pi$:
\[e^{i\pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1 + 0\]
questo perché $\cos \pi = -1$ e $\sin \pi = 0$. A questo punto è facile ricavare dall'ultima espressione l'identità di Eulero:
\[e^{i\pi} + 1 = 0\]
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