Piccoli suicidi tra amici

Anche se scrivo di essere nello spirito giusto per scrivere la recensione di Piccoli suicidi tra amici, non preoccupatevi, prima o poi passa (bisognerebbe stabilire quale sia lo "spirito giusto" per il romanzo, però, e non è così scontato...). E in ogni caso Arto Paasilinna non ha certo scritto un libro per buttarsi giù, è anzi un modo per scherzare in maniera divertente sui cliché che fanno dei finlandesi... finlandesi! E alla fine si scopre che, in fondo, tutto il mondo è paese, perché il viaggio degli aspiranti suicidi, riunitisi in un autobus "simpaticamente" ribattezzato la Saetta della Morte, li porta fuori dai confini finlandesi, a sconvolgere un po' il resto del continente, mentre cercano un posto buono per lanciarsi con tutto l'autobus.
In realtà sono proprio queste avventure un po' strane, quasi al limite, che permettono loro di ritrovare un qual certo gusto per la vita. D'altra parte Paasilinna, da fine umorista, non poteva chiudere il romanzo con un suicidio di massa, altrimenti il senso stesso del proverbio con cui si apre il romanzo

In questa vita la cosa più seria è la morte; ma neanche quella più di tanto.

si sarebbe indubbiamente perso.
L'allegra brigata messa in piedi da Paasilinna non potrà fare altro che coinvolgere il lettore nel suo sgangherato viaggio, ricco di lacrime, dolori, avventure e divertimento. In una parola: vita.

La fisica di Riemann

All'incirca un mese fa Michael Atiyah, vincitore sia della Medaglia Fields nel 1966 sia del Premio Abel nel 2004, ha annunciato di avere dimostrato l'ipotesi (o congettura) di Riemann. Questa sarebbe (più o meno) contenuta in due articoli, The Riemann Hypothesis (pdf su Google Drive) e The fine structure constant (pdf su Google Drive o su empslocal.ex.ac.uk). Lo scetticismo è regnato sovrano sia prima sia dopo la conferenza di Atiyah: basti leggere Reading Into Atiyah’s Proof, Atiyah Riemann Hypothesis proof: final thoughts, On Michael Atiyah and the Riemann Hypothesis e altri che qui non elenco.
Onestamente non mi sarei occupato della questione, innanzitutto perché dopo la conferenza di Terrence Tao alla Bicocca a Milano le mie personali speranze di vedere dimostrata l'ipotesi sono piuttosto basse, ma scartabellando tra gli appunti elettronici ho ritrovato un preprint interessante che vale la pena segnalare, grazie al suo titolo affascinante, Physics of the Riemann Hypothesis (arXiv):

Topolino #3282: Un gioco da campioni

Nell'intervista fatta ad Alessio Coppola per il lancio delle cards dedicate ai personaggi disneyani, il bravo disegnatore che ha rappresentato i vari personaggi in pose calcistiche, indicò come la card di Qui Quo Qua fosse la sua preferita. Così, con la pubblicazione della storia completamente dedicata al trio di nipotini di Paperino, ecco che la copertina è esattamente il disegno realizzato da Coppola, con una resa decisamente migliore rispetto alla copertina dedicata alcune settimane fa a Paperone che oltre al personaggio mostrava anche la card.

Duckburg table games

Con Il colpo da campioni in qualche modo Marco Bosco inizia ad avvicinare il lettore alle atmosfere di Lucca Comics&Games. La storia, infatti, è ambientata nella Fiera del gioco da tavolo di Paperopoli in una struttura che ricorda un po' Fiera Milano City, dove veniva ospitata Cartoomics fino a qualche anno fa.
La fiera, organizzata da Paperone, ha come attrattiva più importante la mostra delle cards da collezione dei grandi campioni del passatto autografate: come al solito Paperino viene precettato per la sorveglianza, per questa volta solo diurna (per la notturna Paperone si avvale di una squadra di professionisti), mentre Qui Quo Qua vengono coinvolti con il ruolo di consulenti per il passaparola social tra gli appassionati. La fiera e in particolare le cards risvegliano l'interesse anche nei Bassotti, che iniziano a tramare per impossessarsi dei pezzi da collezione. Inevitabile l'esito del loro tentativo di furto.
La storia, pur non risultando particolarmente ricca di gag, scivola via con un buon ritmo, mostrando comunque la capacità di Bosco di riuscire a scrivere storie moderne, come già era avvenuto con la prima della serie.
Ad affiancarlo Francesco D'Ippolito, con il suo tratto netto e preciso che mostra sempre di più l'influenza di Giovan Battista Carpi: basti vedere i Bassotti (tratti, espressioni e stassa) o lo stesso Paperone (basette e movenze).
In conclusione un'ottima apertura di numero!

La lumaca esploratrice

Flying at the speed of light

cc @astrilari @Pillsofscience @lpitaly

Come scrivevo settimana scorsa, è stato difficile riprendere ad ascoltare i Linkin Park. Dopo aver ripreso, però, più o meno con lo stesso spirito con cui ho affrontato quattro delle più note canzoni degli Who, vorrei proporre un percorso non molto differente anche con i Linkin Park. Mentre nel caso degli Who il filo rosso era CSI, nel caso dei Linkin non ci sarà alcun legame particolare. Quest'oggi inizio con Waiting for the end, di cui ho utilizzato un verso per il titolo del post:

Il volo degli uccelli

Soprattutto durante il periodo delle migrazioni, in posti dove la civiltà non è ancora così invasiva, è possibile alzando gli occhi verso il cielo osservare stromi di uccelli muoversi in una formazione ricca di individui ma abbastanza regolare. Qualcosa tipo questo:

che magari può diventare questo

Un universo dal nulla

Come ormai ho scritto più e più volte⁽¹⁾, nel 1954 David Bohm riprese le idee alternative di Louis de Broglie della fine degli anni Venti del XX secolo per produrre la così detta teoria delle variabili nascoste. In effetti, proprio come la teoria delle stringhe, vennero prodotti molti modelli che utilizzano le variabili nascoste e le prove sperimentali che si sono accumulate a partire dalla scoperta della disuguaglianza di Bell da parte di John Stewart Bell sono andate tutte in un'unica direzione, quella dell'inesattezza di tali teorie.
Probabilmente è anche per questo che mi sono incuriosito dal preprint che vi propongo, e che è stato anche pubblicato su Physical Review D, sulla dimostrazione matematica della creazione di un universo dal nulla.
Il contesto di tale articolo è semplice: ormai nel modello cosmologico standard è assodato che l'universo si sia espanso da una singolarità iniziale a partire da un big bang, l'istante in cui lo spaziotempo ha iniziato tale espansione. Grazie alla teoria dell'inflazione cosmica⁽²⁾, tale espansione accelerata ha allontanato i punti uno dall'altro a una velocità superiore a quella della luce, ma forse l'elemento più importante della teoria è l'applicazione della meccanica quantistica alla cosmologia. Da qui in poi lo sviluppo della quantocosmologia (passatemi il neologismo!) ha suggerito nei teorici la possibilità della creazione dell'universo dal nulla, dove nulla indica l'assenza di materia e di spaziotempo, evitando così il problema della singolarità iniziale.

Suonare le onde gravitazionali

Domani 17 ottobre per la serie dei Cieli di Brera sarà ospite Marica Branchesi con la conferenza A caccia di suono e luce con onde gravitazionali e fotoni:

Attraverso suoni e luci si racconta l'inizio di un nuovo modo di esplorare l'Universo, ripercorrendo le tappe che hanno segnato la recente nascita dell’astronomia delle onde gravitazionali, dal primo segnale rivelato a settembre 2015 all'astronomia multi-messaggera. Verranno svelati i segreti di buchi neri e stelle di neutroni fino a pochi anni fa invisibili. Verrà sottolineato come le sfide tecnologiche, osservative richiedano oggi per essere superate che comunità scientifiche differenti e ricercatori provenienti da tutto il mondo lavorino insieme.

Come al solito, la conferenza si svolgerà alle 18:00 presso la Sala della Passione della Pinacoteca di Brera, Palazzo Brera, Via Brera 28, Milano, come sempre in collaborazione con la Pinacoteca di Brera e l'Istituto Lombardo. Ingresso libero fino a esaurimento posti (un massimo di 100 persone a sedere).
Potrete comunque seguire l'evento in streaming su youtube.
E visto che quello delle onde gravitazionali è stato uno degli argomenti della Notte dei Ricercatori di quest'anno, colgo l'occasione per (ri)proporvi una breve animazione che avevo realizzato:

Topolino #3281: Di sfortuna, valzer e altre storie

Mi scuso per la pubblicazione così tarda della recensione di parte dell'attuale numero di Topolino, il #3281. D'altra parte con il Carnevale della Matematica uscito quest'oggi ho preferito messo mano alla recensione del Topo solo poco prima della sua pubblicazione.
Inizio allora immediatamente con la storia abbinata alle cards calcistiche con i personaggi Disney protagonisti:

Imparare l'arte del collezionismo

Tutto inizia quando Gastone regala ai nipotini alcune delle più rare tra le quackball. QUalche giorno dopo Paperino e Paperoga incrociano Gastone che, uscito da una fumetteria, sta scartando una confezione di quackball: nei pochi minuti in cui i tre cugini chiacchierano tra loro, Gastone subisce un paio di incredibili colpi di sfortuna. Gli eventi meritano un'investigazione più accurata, da affidare a esperiti nel campo: Paperinik e Paper Bat!
La presenza di quest'ultimo assicura alla storia la presenza di alcune gag divertenti, ma nel complesso l'alter ego supereroistico di Paperoga risulta meno dannifero del solito. In effetti Marco Bosco realizza una storia investigativa con Paperinik e Paper Bat al posto dei classici Topolino e Pippo in cui l'indagine di partenza, la ricerca dell'origine del periodo sfortunato di Gastone, diventa rapidamente la ricerca dello scomparso fortunato cugino. Alla fine tutti i misteri vengono risolti e Gastone torna al suo stato originario, come lecito attendersi.
Infine i disegni di Marco Mazzarello risultano sufficientemente snelli e dinamici da rendere al meglio il ritmo e l'atmosfera della storia di Bosco.

Le formule dei Linkin Park

Era da più di un anno che non ascoltavo i Linkin Park. D'altra parte il suicidio di Chester Bennington era arrivato in un periodo difficile e forse è più che normale che solo dopo così tanto tempo sia riuscito a tornare all'ascolto di questo gruppo così incredibilmente innovativo. La loro innovazione, però, si sposa anche a una buona tecnica musicale, alla commistione di generi, all'uso sapiente di strumenti elettronici e a una struttura di base delle loro canzoni che ha decisamente un gusto matematico. In questo senso non potevo non apprezzare l'esame di Friedemann Findeisen dello stile dei Linkin Park:

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I Rompicapi di Alice: Prendere il dragone per la coda

Un frattale è sostanzialmente una figura geometrica ripetuta a scale differenti. Questo vuol dire che una qualunque sua parte, una volta ingrandita, risulta identica al frattale stesso. I frattali più noti sono il frattale di Mandelbrot, dal matematico polacco Benoît Mandelbrot che li ha resi popolari nel suo libro Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension del 1975, e la curva di Koch, meglio nota come fiocco di neve di Koch, apparsa per la prima volta nel 1904 su Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire, articolo del matematico svedese Helge von Koch.
Proprio alla curva di Koch Martin Gardner dedicò una sezione della sua rubrica Mathematical games uscita sul numero di aprile del 1965 di Scientific American. E fu proprio Gardner a diffondere per la prima volta un'altro frattale piuttosto noto, anche se non come i primi due: la curva del dragone, o anche curva del drago o dragone di Heighway o dragone di Jurassic Park. Quest'ultimo nome deriva dal fatto che questa curva venne pubblicata sulle pagine dei titoli del romanzo Jurassic Park di Michael Crichton.
La storia della curva venne raccontata da Gardner in due articoli tra marzo e aprile del 1967 sempre su Scientific American.

I fisici e il dragone

Pubblicata sulla copertina di un opuscolo che William Harter preparò per un congresso sulla teoria dei gruppi presso il Lewis Research Center della NASA a Cleveland nell'estate del 1966, la curva del dargone venne in realtà scoperta dal suo collega della NASA, il fisico John Heighway e studiata in maggior dettaglio da Harter, Heighway e Bruce Banks.
In effetti la scoperta della curva è abbastanza originale e in linea con lo spirito della rubrica di Gardner: piegando un foglio! La curva del dragone, infatti, può essere ottenuta piegando un foglio più volte a metà sempre nella stessa direzione. Piegando il foglio una prima volta e aprendolo a 90° si ottiene un dragone del primo ordine. Richiudendo e piegando una seconda volta e poi riaprendo il foglio si ottiene una immagine speculare ma ridotta del primo contorno ottenendo un dragone del secondo ordine. E infine piegando una terza volta e riaprendo si ottiene un dragone del terzo ordine.

Non un criminale

A Milano nell'ultimo periodo sono spuntati un po' di negozi di vendita della canapa e di prodotti da essa derivati. Per cui, quando la storia di Joel Davis mi è arrivata grazie a una delle tante newsletter cui sono iscritto, ecco che mi è sembrato molto utile proporla ai lettori. Joel sta combattendo la sua dipendenza dagli oppioidi utilizzando proprio la cannabis medica come alternativa a dei farmaci che alla fine lasciano il paziente con una dipendenza ancora maggiore rispetto a quella che dovrebbero curare, come spesso ha mostrato con la sua storia piuttosto complicata il grande William Burroughs.
La storia di Joel è stata raccolta da Matt Kibbe e oltre che nel video qui sotto, potete anche andarla a vedere su Free the people:

hocus: giocare con le figure impossibili

Su Android ho scoperto un bel gioco dall'alto tasso matematico: hocus. Sviluppato dalla gamebra.in, è possibile installarlo sia su iPhone sia su Wondows sia su Mac grazie alla piattaforma Steam.
L'obiettivo, come nello screenshot che accompagna questo articoletto, è spostare un cubetto colorato di rosso nella buca cubica a esso destinata. Il cubetto, però, si muove su una forma geometrica tridimensionale abbastanza strana: una tipica figura impossibile come il famoso triangolo di Penrose. Il gioco vi da una mano su quali sono le possibili direzioni che il cubetto può prendere in funzione dalla posizione lungo la superficie della figura, ma è fuor di dubbio che alcune volte i movimenti del cubetto risultano contro-intuitivi. In effetti il principale divertimento nell'applicazione è cercare di capire cosa farà il cubetto nei vari nodi. Questo si incrocia con la sfida del portare il cubetto a destinazione, questo perché al complicarsi della figura diventa sempre meno ovvio quale sia il nodo migliore per giungere alla meta.
Un bel passatempo, non scontato ma neanche troppo complicato, che però, se ci si presta attenzione, permette di avere familiarità con un concetto matematico non così ovvio e quotidiano che al massimo potremmo aver visto in qualche incisione di Maurits Cornelis Escher.

Topolino #3280: Alla ricerca della card perduta e altre storie

Le storie notevoli del Topolino #3280 sono indubbiamente le prime tre. Per questa recensione, inizierei con quella abbinata all'operazione delle card calcistiche raffiguranti i personaggi disneyani.

Una card per domarle

Marco Bosco continua la serie delle avventure abbinate alle carte calcistiche, questa volta insieme con Carlo Limido. La card da un milione è una storia più classica rispetto a quella della settimana scorsa: di fatto è una caccia al tesoro modernizzata. Paperone, infatti, per acquistare le azioni di Instapap, il social network del momento nel mondo disneyano, deve trovare prima dei suoi concorrenti una mitica card realizzata 11 anni fa per errore in un unico esemplare e il cui valore collezionistico è valutato in un milione di dollari.
Mentre Paperone chiede aiuto ai suoi nipotini, Qui, Quo e Qua, Rockerduck si mette a capo dei suoi avversari guidati dal classico motto l'unione fa la forza. La storia è suddivisa in maniera abbastanza equilibrata tra i due gruppi, seguiti in una narrazione consecutiva ma non parallela, che permette indubbiamente una maggiore leggibilità. D'altra parte l'obiettivo della storia è semplice, e ben poco anticipa dettagli sul finale:

La gioia di un bambino non è forse il tesoro più prezioso?

In questo senso risulta perfetta la scelta di Limido come disegnatore della storia: il suo tratto rotondo riesce a trasmettere esattamente quella gioia nella lettura di una storia divertente che cattura il senso della collezione delle figurine, come si facevano una volta, o delle card di oggi, che spesso viene travisato e distorto dagli adulti quanto decidono che qualcosa del mondo dei bambini meriti la loro attenzione.

Vivere nell'ipercubo

La parte iniziale di questo breve articolo è tratta da "L'incredibile dimensione mesonica"

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Illustrazione di Franco Brambilla

L'ideazione del concetto di universi paralleli viene attribuita allo scrittore statunitense Murray Leinster che nel 1934 vide pubblicato sulle pagine di Astounding Stories il racconto Sidewise in Time che ne faceva largo uso.
Prima del racconto di Leinster, però, l'idea di un mondo parallelo era stata in qualche modo già utilizzata in alcuni romanzi, di cui i più famosi sono indubbiamente Alice nel paese delle meraviglie (e il suo seguito Attraverso lo specchio) di Lewis Carroll e Flatlandia di Edwin Abbott. In particolare quest'ultimo, insieme con il racconto del 1933 I sogni della casa stregata di Howard Phillips Lovecraft e quello del 1940 La casa nuova di Robert Heinlein giocano con la geometria e l'incastro di spazi di dimensioni differenti uno nell'altro.
Come ha rilevato la teoria della relatività di Albert Einstein, il nostro universo è costituito da quattro dimensioni, le tre spaziali più il tempo. Mentre per Lovecraft questa diventa una sorta di fonte di orrori, a causa dell'innaturalezza della geometria quadridimensionale, Heinlein sfrutta con il concetto dell'ipercubo o tesseratto per realizzare un divertente racconto di stampo umoristico e matematicamente esatto.
Un tesseratto è l'equivalente quadridimensionale di un cubo. Le sue facce sono 8 cubi tridimensionali, che nel racconto di Heinlein, pubblicato nel 1941 su Astounding Science Fiction, diventano le 8 stanze della casa costruita dall'architetto Quintus Teal come un tesseratto dispiegato. Durante la visita all'immobile, sia l'architetto sia gli aspiranti acquirenti si trovano leggermente spaesati (ed è un eufemismo) nell'esplorare gli ambienti della casa. Tale difficoltà aumenterà quando il tesseratto si ripiega su se stesso a causa di una scossa di terremoto nella vicina faglia di Sant'Andrea.

I cinque cerchi incidenti

Il Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (JMPA) è una prestigiosa rivista scientifica francese specializzata in matematica e fondata nel 1836 da Joseph Liouville. Oltre a giocare un ruolo importante nella diffusione del lavoro di Évariste Galois, che pubblicò proprio sulla sua rivista nel 1846, il JMPA ha anche pubblicato nel 1838 un particolare teorema della geometria piana, il teorema di Miquel scoperto a quanto pare da un insegnante di scuola superiore francese, Auguste Miquel.
Il teorema, nella sua versione di base, parte da un triangolo qualsiasi di vertici $A$, $B$, $C$. Su ciascuno dei suoi tre lati o sulle loro estensioni si determinano tre punti $A'$, $B'$, $C'$ e si tracciano tre circonferenze passanti per uno dei vertici del triangolo e gli altri due punti con gli apici, quindi ad esempio per $A$, $B'$, $C'$. Il teorema stabilisce che le tre circonferenze si intersecano in un unico punto, detto punto di Miquel, $M$.
Il teorema può essere esteso anche al quadrilatero, al pentagono e a sei cerchi. Una versione particolare del teorema dei cinque cerchi di Miquel è stata scoperta, in un certo senso per caso, nel 2014 grazie a un programma di grafica.

Ilogenesi

L'ilogenesi, termine che deriva da due parole greche, ilo, materia primordiale, e genesi, origine, è una teoria fisica che si occupa del meccanismo dietro le origini di materia oscura e antimateria, proposta su un preprint nell'agosto del 2010 da Hooman Davoudiasl, David Morrissey, Kris Sigurdson e Sean Tulin e successivamente pubblicato sul Physical Review Letters.
La teoria utilizza il fermione $X$ e la sua antiparticella $\bar X$, che possono entrambi accoppiarsi in una coppia di quark nel visibile o in una coppia di particelle nascoste, non trattate dal Modello Standard e dunque molto simili alle famose variabili nascoste. Gli stati nascosti hanno una massa dell'ordine del GeV e un accoppiamento moto debole con le particelle del Modello Standard. $X$ e $\bar X$ decadono rispettivamente in materia barionica o materia barionica nascosta, e in materia antibarionica o materia antibarionica nascosta, violando la simmetria CP e il numero barionico di quark.
Si crea un eccesso di materia barionica visivile e un eccesso di materia antibarionica nascosta. L'antimateria nascosta è supposta essere quella che noi chiamiamo materia oscura (stabile). Le particelle $X$ e $\bar X$ hanno una carica barionica conservata, in questo modo compaiono cariche uguali e opposte nel visibile e nel nascosto. Quindi la carica barionica totale dell'universo rimane nulla.

Davoudiasl, H., Morrissey, D. E., Sigurdson, K., & Tulin, S. (2010). Unified origin for baryonic visible matter and antibaryonic dark matter. Physical review letters, 105(21), 211304. doi:10.1103/PhysRevLett.105.211304 (arXiv)

La freccia del tempo gravitazionale

Proseguendo con proposte collaterali, come quelle sul legame tra alcuni particolari buchi neri e le origini del nostro universo, ecco un articolo che è anche giunto a pubblicazione su rivista specialistica, nel dettaglio Physical Review Letters.
Nello specifico Julian Barbour, Tim Koslowski e Flavio Mercati propongono un modello di universo classico abbastanza semplice: un sistema di $N$ corpi legati tra loro dalla sola gravità newtoniana. A questo aggiungono la semplice richiesta che energia e momento angolare totali siano pari a zero. Con una combinazione tra calcoli analitici e simulazioni numeriche, si osserva che il tempo procede simmetricamente in due direzioni differenti. All'interno di questo sistema è possibile, poi, studiare le forme geometriche che prendono punti gravitazionalmente connessi uno con l'altro e la loro evoluzione nel tempo. E si scopre che emerge la presenza di una sorta di forza di attrito che rende irreversibile l'evoluzione della forma, ovvero tornare indietro non porta alla forma geometrica di partenza.
Emerge, allora, una sorta di freccia del tempo gravitazionale, che potrebbe anche fornire un indizio per capire quale sia il meccanismo che genera la freccia del tempo del nostro universo: non dimentichiamo, infatti, che il modello di Barbour, Koslowski e Mercati è non relativistico.
Inoltre i tre autori sono anche tornati sul luogo del delitto con altri due articoli, questa volta presenti solo su arXiv, che insieme con l'articolo da cui sono partito vi segnalo nel box qui sotto:

Barbour, J., Koslowski, T., & Mercati, F. (2014). Identification of a gravitational arrow of time. Physical review letters, 113(18), 181101. doi:10.1103/PhysRevLett.113.181101 (arXiv)
Barbour, J., Koslowski, T., & Mercati, F. (2015). Entropy and the Typicality of Universes. arXiv preprint arXiv:1507.06498.
Barbour, J., Koslowski, T., & Mercati, F. (2016). Janus points and arrows of time. arXiv preprint arXiv:1604.03956.

Forse varrebbe la pena approfondire un po' di più la questione, ma in questo periodo mi preme smaltire un po' gli appunti e gli spunti arretrati che ho sparsi in giro su articoletti e preprint vari.

Buchi neri da un altro universo

Alcune delle domande che mi sono state poste nella parte finale del laboratorio sulle onde gravitazionali durante la Notte dei Ricercatori 2018 erano legate all'origine dell'universo, in particolare alla possibilità che ci siano universi precedenti a quello attuale. In effetti, considerando che un eventuale big crunch potrebbe distruggere completamente qualunque informazione sull'universo morente, non avremmo alcuna possibilità di recuperare informazioni sull'universo prima del big bang. D'altra parte un paio di mesi fa Roger Penrose insieme con Daniel An e Krzysztof Meissner ha proposto un preprint in cui prova a spiegare alcune anomalie presenti nella radiazione cosmica di fondo con i così detti punti di Hawking, che sarebbero legati all'evaporazione di un buco nero proveniente da un universo precedente al nostro.
D'altra parte giusto qualche anno fa Razieh Pourhasan, Niayesh Afshordi e Robert Mann avanzarono una nuova proposta legata all'origine olografica del big bang. In sintesi i tre suggerirono che il nostro universo sia in realtà l'orizzonte degli eventi tridimensionale di un buco nero quadridimensionale e dunque il big bang è stato originato dal collasso gravitazionale di una stella quadridimensionale.